ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 154: Объём шара и площадь сферы

План решения:

Для пункта а) нам нужно найти расстояние от точки D до прямой AC. Поскольку BD⊥(ABC), то по теореме о трёх перпендикулярах проекцией наклонной DA (или DC) на плоскость является отрезок BA (или BC). Однако проще всего рассмотреть треугольник ADC. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть M — середина AC, так как треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), то BM⊥AC. По теореме о трёх перпендикулярах, если BM⊥AC и BD⊥(ABC), то наклонная DM⊥AC. Значит, искомое расстояние равно длине отрезка DM.

Для пункта б) площадь треугольника ACD можно вычислить как половину произведения основания AC на высоту DM, которую мы найдём в пункте а).

Вычисления:

1. Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный с боковыми сторонами AB=BC=13 см и основанием AC=10 см. Пусть M — середина стороны AC. Тогда AM=MC=10/2=5 см. Так как AB=BC, медиана BM является высотой, то есть BM⊥AC. Найдём длину BM из прямоугольного треугольника ABM по теореме Пифагора: BM=AB²-AM²=13²-5²=169-25=144=12 см .

2. Теперь рассмотрим треугольник DBM. Так как прямая BD перпендикулярна плоскости ABC, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B. Следовательно, BD⊥BM, и треугольник DBM — прямоугольный с катетами BD и BM. По условию BD=9 см, а мы нашли BM=12 см. Гипотенуза DM равна: DM=BD²+BM²=9²+12²=81+144=225=15 см . Это и есть расстояние от точки D до прямой AC (ответ для пункта а).

3. Для нахождения площади треугольника ACD используем формулу площади треугольника: S=1/2·a·h. Основанием служит сторона AC=10 см, а высотой к ней является отрезок DM=15 см (так как доказано, что DM⊥AC). S_ACD=1/2·AC·DM=1/2·10·15=5·15=75 см² .

Проверка:

Логика применения теоремы о трёх перпендикулярах верна: перпендикуляр к плоскости (BD) и перпендикуляр к линии в плоскости (BM⊥AC) гарантируют, что наклонная (DM) также перпендикулярна этой линии (AC). Числовые расчёты: 13²-5²=12, 9²+12²=15, 0.5·10·15=75. Результаты совпадают с ожидаемыми целыми числами, что характерно для таких задач.