ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 153: Объём шара и площадь сферы

План доказательства.

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой a и наклонной AM, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Нам дано, что прямая a лежит в плоскости β (которая проходит через наклонную AM и её проекцию HM) или же мы можем рассмотреть плоскость, образованную прямой a и точкой A. Однако более стандартный подход для этой теоремы — использование свойства перпендикулярности прямой к плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в данной плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости. В нашем случае нужно показать, что прямая a перпендикулярна плоскости, содержащей наклонную AM и высоту AH.

Ход решения.

1. Пусть AH — высота, опущенная из точки A на плоскость β (в условии подразумевается, что H — основание перпендикуляра, а M — основание наклонной, но обычно в таких задачах H — проекция A на плоскость, содержащую a и M. Уточним по классической формулировке: AM — наклонная, HM — её проекция на некоторую плоскость, в которой лежит прямая a. Но чаще всего в учебниках геометрии 10-11 классов под «проекцией наклонной» понимают отрезок на плоскости, в которой лежит сама наклонная? Нет, проекция наклонной лежит в той плоскости, на которую она спроектирована. Давайте разберем стандартную конфигурацию задачи №153 (или аналогичной): Есть плоскость β. Точка A вне её. AHbotβ, где H∉β? Нет, Hβ. AM — наклонная к плоскости β, Mβ. Тогда HM — проекция наклонной AM на плоскость β. В условии сказано: «прямая a, проведённая в плоскости β через основание M... перпендикулярна ей [наклонной AM], если она перпендикулярна её проекции HM». Значит, дано: aβ, Ma, abotHM. Доказать: abotAM.
2. Рассмотрим прямую AH. Так как AH — перпендикуляр к плоскости β, то AHbota (так как любая прямая, лежащая в плоскости β, перпендикулярна перпендикуляру к этой плоскости).
3. По условию задачи, прямая a перпендикулярна проекции наклонной HM, то есть abotHM.
4. Таким образом, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым AH и HM, которые лежат в плоскости AHM (плоскость, проходящая через перпендикуляр и наклонную).
5. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, abot(AHM).
6. Поскольку наклонная AM лежит в плоскости (AHM), то прямая a перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, включая AM.
7. Итак, abotAM, что и требовалось доказать.

Проверка.

Логическая цепочка верна: перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой в ней (AHbota). По условию abotHM. Значит, a перпендикулярна плоскости AHM. Наклонная AM принадлежит этой плоскости. Следовательно, abotAM. Это доказательство обратной теоремы о трёх перпендикулярах.