ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 155: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Илья Морозов, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Через вершину прямого угла C равнобедренного прямоугольного треугольника ABC проведена прямая CM, перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AC=4 см, а CM=2\sqrt{7} см.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы найти расстояние от точки M до прямой AB, нужно провести перпендикуляр из точки M на прямую AB. Обозначим основание этого перпендикуляра за точку D. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка MD. Для нахождения MD воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах. Сначала найдём длину проекции CD на плоскость треугольника ABC, а затем рассмотрим прямоугольный треугольник MCD.
Вычисление.
1. Рассмотрим треугольник ABC. По условию он равнобедренный и прямоугольный с прямым углом при вершине C. Катеты равны: AC=BC=4 см. Гипотенуза AB находится по теореме Пифагора: AB=AC2+BC2=42+42=16+16=32=42 см . 2. Проведём в плоскости треугольника ABC высоту CD к гипотенузе AB. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота CD является также медианой и биссектрисой. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, делит его на два подобных треугольника, или можно использовать формулу площади: SABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD. Отсюда: CD=AC·BC/AB=4·4/42=16/42=4/2=22 см . Также можно заметить, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна половине гипотенузы: CD=AB/2=42/2=22 см. 3. Теперь перейдём к пространственному построению. Прямая CM перпендикулярна плоскости ABC, значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку C. Следовательно, CM⊥CD. По теореме о трёх перпендикулярах: если наклонная MC перпендикулярна плоскости, а её проекция CD перпендикулярна прямой AB, то сама наклонная MD перпендикулярна прямой AB. Таким образом, MD — это и есть искомое расстояние от точки M до прямой AB. 4. Рассмотрим треугольник MCD. Он прямоугольный (∠MCD=90°), так как CM⊥(ABC) и CD⊂(ABC). Нам известны катеты: CM=27 см, CD=22 см. Найдём гипотенузу MD по теореме Пифагора: MD2=CM2+CD2. Подставим значения: MD2=(27)2+(22)2=4·7+4·2=28+8=36. Следовательно: MD=36=6 см .
Проверка.
Логика решения опирается на стандартные свойства равнобедренного прямоугольного треугольника и теорему о трёх перпендикулярах. Расчёт длин катетов и гипотенуз выполнен верно. Результат совпадает с ориентировочным ответом.
6 см
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 155 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 155?
Краткий ответ: 6 см.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.