ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 157: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Роман Жуков, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Прямая OK перпендикулярна плоскости ромба ABCD с центром O.
а) Докажите, что расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.
б) Найдите это расстояние, если OK=4,5 дм, AC=6 дм, BD=8 дм.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Для пункта а) используем теорему о трёх перпендикулярах. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
- Для пункта б) сначала найдём расстояние от центра ромба O до его сторон (это будет высота прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей и стороной). Затем по теореме Пифагора найдём искомое расстояние от точки K до стороны.
Решение пункта а):
Пусть M — произвольная точка на стороне ромба, например, основание перпендикуляра, опущенного из центра O на сторону AB. Так как OK⊥(ABCD), то OK перпендикулярна любой прямой в плоскости ромба, проходящей через точку O, в частности, OK⊥OM.
По условию OM⊥AB. По теореме о трёх перпендикулярах, если наклонная KM проектируется на плоскость в отрезок OM, который перпендикулярен прямой AB, то сама наклонная KM также перпендикулярна прямой AB. Значит, KM — это расстояние от точки K до прямой AB.
Аналогично для других сторон ромба: пусть ON1,ON2,ON3 — расстояния от центра O до остальных сторон. Поскольку O — центр ромба, он равноудалён от всех его сторон (так как диагонали ромба являются биссектрисами углов, а центр лежит на них; либо можно рассмотреть равные прямоугольные треугольники, образованные половинами диагоналей и сторонами). Следовательно, OM=ON1=ON2=ON3.
Так как OK общая для всех прямоугольных треугольников KOM,KON1 и т.д., то гипотенузы этих треугольников равны: KM=KN1=KN2=KN3. Таким образом, расстояния от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, равны.
Решение пункта б):
Дано: OK=4,5 дм, AC=6 дм, BD=8 дм.
Найдём половину диагоналей: AO=OC=AC/2=3 дм, BO=OD=BD/2=4 дм.
В прямоугольном треугольнике AOB катеты равны 3 и 4. Найдём гипотенузу AB (сторону ромба) по теореме Пифагора:
AB=AO2+BO2=32+42=9+16=25=5 дм .Пусть OM — высота, проведённая из вершины прямого угла O к гипотенузе AB в треугольнике AOB. Эта высота является расстоянием от центра ромба до стороны AB. Площадь треугольника AOB можно вычислить двумя способами:
SAOB=1/2AO·BO=1/2AB·OM.Подставим значения:
1/2·3·4=1/2·5·OM⇒12=5·OM⇒OM=12/5=2,4 дм .Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник KOM (∠KOM=90°, так как OK⊥(ABCD)). Искомое расстояние KM найдём по теореме Пифагора:
KM=OK2+OM2=4,52+2,42.Вычислим квадраты:
4,52=20,25, 2,42=5,76.Сумма:
20,25+5,76=26,01.Извлечём корень:
KM=26,01=5,1 дм .Проверка:
Числа 2,4 и 4,5 пропорциональны тройке Пифагора (3;4;5) с коэффициентом 0,6: 3·0,6=1,8 (не подходит), давайте проверим иначе. 2,4=0,6·4, 4,5=0,6·7,5? Нет. Давайте просто проверим арифметику: 5,12=(5+0,1)2=25+1+0,01=26,01. Всё верно.
б) 5,1 дм
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 157 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 157?
Краткий ответ: б) 5,1 дм.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.