ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 161: Объём шара и площадь сферы

План доказательства.

Для решения задачи воспользуемся свойством проекции наклонной. Пусть AO — перпендикуляр к плоскости угла CBD, где O — основание перпендикуляра (проекция точки A). Тогда отрезок BO является проекцией наклонной BA на эту плоскость. Нам нужно доказать, что луч BO делит угол CBD пополам, то есть extCBO= extDBO.

Ход вычислений и рассуждений.

1. Проведём из точки A перпендикуляры к сторонам угла: AK⊥BC и AM⊥BD. По условию дано, что ∠ABC=∠ABD. Рассмотрим прямоугольные треугольники △ABK и △ABM. В них:

• гипотенуза AB общая;
• острый угол ∠ABK=∠ABM (так как это те же самые углы ∠ABC и ∠ABD).

Следовательно, △ABK=△ABM по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих катетов: AK=AM. 2. Теперь применим теорему о трёх перпендикулярах в обратном направлении или свойства проекций. Так как AO⊥(CBD), то AO перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку O. В частности, AO⊥OK и AO⊥OM (если предположить, что K и M лежат на прямых, но нам важнее связь с основанием). Более строгий путь: рассмотрим прямоугольные треугольники △AOK и △AOM. Здесь AO — общий катет (высота), а гипотенузы AK и AM равны (доказано выше). Значит, △AOK=△AOM по катету и гипотенузе. Отсюда следует равенство вторых катетов: OK=OM. 3. Рассмотрим треугольники △BOK и △BOM. Это прямоугольные треугольники (∠BKO=90^° и ∠BMO=90^° не обязательно, так как OK и OM — это расстояния от проекции до сторон? Нет, давайте уточним геометрию). Давайте используем более стандартный подход для биссектрисы. Пусть AO⊥(CBD). Тогда BO — проекция BA. Проведем OK⊥BC и OM⊥BD. По теореме о трёх перпендикулярах, так как AO⊥(CBD) и OK⊥BC, то наклонная AK⊥BC. Аналогично, если OM⊥BD, то AM⊥BD. В прямоугольных треугольниках △ABK и △ABM: AB — общая гипотенуза. ∠ABK=∠ABM (по условию). Значит, △ABK=△ABM, откуда AK=AM. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники △AOK и △AOM (где углы при K и M прямые, так как мы построили OK⊥BC и OM⊥BD): AO — общий катет. AK=AM (гипотенузы). Следовательно, △AOK=△AOM, откуда OK=OM. 4. Точка O равноудалена от сторон угла CBD (OK=OM). Известно, что геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, лежащих внутри него, является его биссектрисой. Поскольку луч BA не лежит в плоскости, а проекция BO лежит внутри угла (так как ∠ABC<90^° гарантирует, что основание перпендикуляра попадает внутрь вертикального двугранного угла, образованного гранями, или проще говоря, проекция сохраняет ориентацию относительно сторон), то луч BO является биссектрисой угла CBD.

Проверка результата.

Если бы BA была перпендикулярна плоскости, её проекция была бы точкой, и утверждение было бы тривиальным/некорректным. Но BA — наклонная. Равенство углов наклона наклонной к сторонам угла влечёт равенство длин перпендикуляров из вершины наклонной на стороны. Это, в свою очередь, влечёт равенство расстояний от проекции вершины до сторон угла. Равноудалённость от сторон угла характеризует биссектрису. Логика последовательна и опирается на признак равенства прямоугольных треугольников и определение биссектрисы как множества точек, равноудалённых от сторон угла.