ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 164: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Екатерина Новикова, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Наклонная к плоскости α образует с ней угол φ. Найдите величину угла φ, если длина проекции наклонной в два раза меньше длины самой наклонной.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для нахождения угла между наклонной и плоскостью необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник, образованный самой наклонной, её проекцией на данную плоскость и перпендикуляром, опущенным из конца наклонной на эту плоскость. Угол между наклонной и её проекцией является искомым углом φ. Введём обозначения: пусть длина наклонной равна l, а длина её проекции — d.
Вычисление.
По условию задачи длина проекции в два раза меньше длины самой наклонной, то есть:
d=l/2В полученном прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу φ, равен проекции наклонной (d), а гипотенуза равна длине наклонной (l). Используем определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:
cosφ=прилежащий катет/гипотенуза =d/lПодставим выражение для d через l:
cosφ=l/2/l=1/2Найдём угол φ, зная его косинус:
φ=arccos(1/2)=60°Проверка.
Если угол между наклонной и плоскостью составляет 60°, то проекция наклонной действительно составляет половину от её длины, так как cos60°=0.5. Это полностью соответствует условию задачи. Ответ совпадает с эталонным значением.
60°
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 164 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 164?
Краткий ответ: 60°.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.