ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 168: Многогранный угол

План решения.

Для нахождения расстояния от точки до ребра двугранного угла необходимо построить сечение, перпендикулярное этому ребру. Пусть дан двугранный угол с ребром l и гранями β₁ и β₂. Точка A лежит в плоскости грани β₁. Расстояние от точки A до плоскости другой грани β₂ равно d. Нам нужно найти расстояние от точки A до ребра l.

Вычисление.

Проведём из точки A перпендикуляр к плоскости грани β₂, обозначим основание этого перпендикуляра за точку B. Тогда длина отрезка AB=d.

Из точки B проведём перпендикуляр к ребру l, обозначив основание перпендикуляра за точку C. Соединим точку A с точкой C.

По теореме о трёх перпендикулярах, так как ABbotβ₂ и BCbotl, то наклонная AC также перпендикулярна ребру l. Следовательно, длина отрезка AC является искомым расстоянием от точки A до ребра двугранного угла.

Рассмотрим треугольник ABC. Угол △ABC прямой (△B=90^o), так как AB перпендикулярна любой прямой в плоскости β₂, проходящей через B, включая BC.

Угол между плоскостями граней двугранного угла равен углу между прямыми, перпендикулярными ребру и лежащими в этих гранях. Прямая AC лежит в грани β₁ и перпендикулярна ребру l. Прямая BC лежит в грани β₂ и перпендикулярна ребру l. Значит, линейный угол двугранного угла равен △ACB=△.

В прямоугольном треугольнике ABC нам известен катет AB=d, противолежащий углу △, и гипотенуза AC, которую нужно найти.

Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

Отсюда выразим AC:

Проверка.

Если угол △ стремится к 90^o, то △sin△ стремится к 1, и расстояние AC стремится к d. Это логично: если грани перпендикулярны, то проекция точки на одну грань находится на расстоянии, равном расстоянию до другой грани только в частном случае, но здесь мы имеем дело с геометрией сечения. При △=90^o треугольник вырождается? Нет, при △=90^o точка B совпадает с проекцией A на ребро? Проверим предельные случаи. Если △ мал, то △sin△ мал, и AC велико. Это верно: чтобы получить небольшое расстояние до грани d, находясь под острым углом к ней, нужно быть далеко от ребра. Формула корректна.