ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 167: Многогранный угол

План доказательства.

Чтобы доказать, что угол DMB является линейным углом двугранного угла с ребром AC, необходимо проверить два условия определения линейного угла:

• Вершина угла (M) лежит на ребре двугранного угла (AC).
• Стороны угла (MD и MB) лежат в гранях двугранного угла и перпендикулярны его ребру (AC).

Вычисление и обоснование.

1. По условию тетраэдр DABC правильный (все рёбра равны). Точка M — середина ребра AC. Следовательно, вершина угла DMB действительно лежит на ребре AC.

2. Рассмотрим грань DAC. Так как все рёбра равны, треугольник DAC является равносторонним. В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Поскольку M — середина AC, отрезок DM является медианой △DAC. Значит, DMbotAC.

3. Аналогично рассмотрим грань BAC. Треугольник BAC также равносторонний. Отрезок BM соединяет вершину B с серединой противоположной стороны AC, то есть является медианой △BAC. Следовательно, BMbotAC.

4. Таким образом, мы имеем: DMbotAC и BMbotAC. При этом лучи MD и MB лежат в плоскостях граней DAC и BAC соответственно, которые образуют данный двугранный угол.

Проверка и вывод.

Все требования к определению линейного угла двугранного угла выполнены: стороны угла перпендикулярны ребру и лежат в соответствующих гранях. Следовательно, угол DMB является линейным углом двугранного угла при ребре AC.