ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 169: Многогранный угол

План решения.

Для доказательства равенства суммы двугранных углов 180^° воспользуемся определением линейного угла двугранного угла. Нам нужно построить сечение, перпендикулярное общему ребру двух данных углов, и рассмотреть полученные плоские углы в этом сечении.

Ход доказательства.

Пусть даны два двугранных угла с общим ребром l. Обозначим их грани так: у первого угла грани — это полуплоскости β₁ и β₂, у второго — β₂ и β₃. По условию, общая грань — β₂, а две другие грани (β₁ и β₃) лежат в разных полуплоскостях одной плоскости β. Это означает, что β₁ и β₃ образуют развернутый угол (плоскость), если смотреть на них со стороны общего ребра, но точнее: они лежат в одной плоскости β, проходящей через ребро l, и находятся по разные стороны от него? Нет, условие говорит: "две другие их грани лежат в разных полуплоскостях одной плоскости". Обычно это формулировка смежных двугранных углов. То есть грани β₁ и β₃ лежат в одной плоскости β, которая проходит через ребро l, и разделяются ребром l на две полуплоскости. Таким образом, двугранные углы являются смежными.

Проведем плоскость ρ, перпендикулярную ребру l. Пусть точка пересечения плоскости ρ с ребром l обозначается как O. Плоскость ρ пересекает грани β₁, β₂ и β₃ по лучам OA, OB и OC соответственно, исходящим из точки O.

По определению, линейным углом двугранного угла (β_1,β₂) является угол θ₁=∠AOB, а линейным углом двугранного угла (β_2,β₃) является угол θ₂=∠BOC.

Так как грани β₁ и β₃ лежат в одной плоскости β и по разные стороны от ребра l, то лучи OA и OC лежат в плоскости ρ и являются противоположными лучами одной прямой. Следовательно, угол θ₁+θ₂=∠AOB+∠BOC=∠AOC. Поскольку A,O,C лежат на одной прямой, θ₁+θ₂=180^°.

Проверка.

Мы использовали определение линейного угла и свойство смежных углов на плоскости. Если бы грани не лежали в одной плоскости, сумма была бы другой. Условие гарантирует, что внешние грани образуют плоский угол при сечении, перпендикулярном ребру. Доказательство корректно.