ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 166: Многогранный угол

План доказательства.

Чтобы доказать, что угол ABC является линейным углом двугранного угла с ребром MN, необходимо проверить два условия определения линейного угла:

• Вершина угла (B) лежит на ребре двугранного угла (MN).
• Стороны угла (BA и BC) лежат в соответствующих гранях (β и β или β и β? Нет, стороны должны лежать в разных гранях, но здесь нужно внимательно прочитать условие. В условии сказано: "В плоскости β из точки A... проведен перпендикуляр AB". Это странно. Обычно точка A берется на ребре. Давайте перечитаем условие внимательно.

Анализ условия: "Две плоскости β и β пересекаются по прямой MN". Здесь явная опечатка в тексте задания (две одинаковые буквы). Скорее всего, имеются в виду плоскости β и β (или β и β). Далее: "В плоскости β из точки A на прямой MN...". Если точка A лежит на прямой MN, то она принадлежит обеим плоскостям. Но дальше говорится: "Из той же точки A в плоскости β проведен перпендикуляр AC к прямой MN". И требуется доказать про угол ABC.

Давайте разберем стандартную формулировку такой задачи. Линейный угол двугранного угла строится так: берем точку на ребре, проводим в каждой грани лучи, перпендикулярные ребру. Угол между этими лучами и есть линейный.

В данном условии есть путаница с обозначениями точек. Предположим стандартную ситуацию, исходя из логики доказательства: 1. Есть две плоскости, пусть это будут β и β (заменю вторую на β для ясности, хотя в условии они оба названы β, скорее всего имелось в виду β и β). 2. Ребро — прямая MN. 3. Точка A лежит на ребре MN. 4. В одной грани (пусть это будет плоскость β) из точки A проведен перпендикуляр к ребру MN. Пусть конец этого отрезка называется B. То есть ABbotMN, B∉MN, Bliesinβ. 5. Во второй грани (плоскость β) из точки A проведен перпендикуляр к ребру MN. Пусть конец этого отрезка называется C. То есть ACbotMN, C∉MN, Cliesinβ. 6. Требуется доказать, что угол BAC (в условии написано ABC, но вершина линейного угла должна быть на ребре, то есть в точке A. Если вершина угла ABC, то это треугольник. Возможно, в условии опечатка и имеется в виду угол BAC, или точки названы иначе. Посмотрим на текст: "угол ABC является линейным углом". Вершина угла ABC — это точка B. Значит, точка B должна лежать на ребре MN.

Перечитаем условие еще раз очень внимательно: "В плоскости β из точки A на прямой MN проведен перпендикуляр AB." -> Это значит, что A — точка на прямой MN. Отрезок AB лежит в плоскости β и ABbotMN. Следовательно, B — это точка вне прямой MN. "Из той же точки A в плоскости β проведен перпендикуляр AC к прямой MN." -> Опять плоскость β? Или вторая плоскость? Допустим, вторая плоскость тоже β (опечатка в условии, должно быть β). Тогда ACbotMN и AC лежит во второй плоскости. Тогда у нас есть два луча AB и AC, выходящие из точки A на ребре. Угол между ними — это угол BAC. Почему в задании спрашивается про угол ABC?

Возможная интерпретация: Может быть, точка B лежит на ребре? "из точки A ... проведен перпендикуляр AB". Если A не на ребре, а B на ребре? Нет, сказано "из точки A на прямой MN". Значит AliesonMN. Если задача требует доказать, что угол ABC линейный, то вершина B должна быть на ребре. Это противоречит тому, что ABbotMN при AonMN (тогда B не на MN, если AB ненулевой отрезок). Скорее всего, в условии задачи допущена серьезная опечатка в названиях точек или углов. Стандартная теорема гласит: Угол, образованный двумя лучами, выходящими из одной точки на ребре двугранного угла и лежащими в его гранях перпендикулярно к ребру, называется линейным углом двугранного угла. Исправим условие под логичное доказательство, предполагая, что речь идет об угле с вершиной в точке на ребре. Пусть вершина на ребре — это точка O (или A). Лучи OA и OB в разных гранях перпендикулярны ребру. Доказать, что △OAB определяет линейный угол? Нет, сам угол AOB. Давайте посмотрим на вариант, где точки перепутаны местами. Пусть B лежит на ребре MN. Из B в плоскости β проведен перпендикуляр BA к MN. Из B в плоскости β (второй) проведен перпендикуляр BC к MN. Тогда угол ABC имеет вершину B на ребре, стороны BA и BC лежат в гранях и перпендикулярны ребру. Это полное соответствие определению линейного угла. В исходном тексте: "из точки A на прямой MN... перпендикуляр AB". Если переименовать точки так, чтобы совпало с требованием "доказать про угол ABC", то нужно считать, что вершина угла ABC — точка B — лежит на ребре. Но в условии сказано, что перпендикуляры проведены из точки A. Это конфликт. Однако, часто в таких задачах подразумевается следующее построение: 1. Берем произвольную точку A на ребре MN. 2. В первой грани проводим луч ABbotMN. 3. Во второй грани проводим луч ACbotMN. 4. Рассматриваем треугольник ABC. 5. Линейным углом является угол BAC. Если в задании буквально написано "доказать, что угол ABC является линейным", то это математически неверно при описанном построении (вершина не та). Но, возможно, имеется в виду, что мы рассматриваем проекцию или другой объект? Нет, тема "Многогранный угол", §26. Это базовое определение. Я буду решать задачу, исправив очевидную смысловую ошибку в постановке вопроса относительно имени угла, либо предположив, что в условии точки A и B поменяны ролями в первой части. Наиболее вероятный сценарий для школьной задачи: нужно доказать выполнение условий определения линейного угла для угла, вершина которого лежит на ребре, а стороны перпендикулярны ему. Предположим, что в условии опечатка и нужно доказать, что угол BAC (с вершиной в точке A на ребре) является линейным. Или, что более вероятно при фразе "угол ABC", что точка B лежит на ребре. Давайте будем исходить из того, что нужно показать соответствие определению. Я напишу решение для случая, когда вершина угла лежит на ребре, так как это единственный способ получить линейный угол. Назову вершину O (или оставлю A, если она на ребре), а концы лучей B и C. Если в ответе требуют именно угол ABC, значит, вершина B на ребре. Переставим буквы в условии мысленно: "Из точки B на прямой MN...". Но я должен следовать условию. Условие говорит: A на MN. ABbotMN в пл. β. ACbotMN в пл. β (предполагаем вторую). Тогда угол BAC — линейный. Утверждение про угол ABC ложно. Однако, иногда под "углом ABC" могут понимать угол в треугольнике, который *соответствует* линейному? Нет. Есть еще один вариант: Двугранный угол AMNC? Обозначение двугранного угла обычно включает ребро и точки на гранях. AMNC — странное обозначение. Возможно, ребро MN, грани проходят через A и C? Давайте сделаем безопасное решение, которое объясняет суть определения, указывая на то, какой именно угол является линейным согласно построению. Я буду доказывать, что угол с вершиной в точке на ребре и сторонами, перпендикулярными ребру, является линейным. В контексте букв задачи, если A на ребре, то это угол BAC. Если же настаивать на угле ABC, то это ошибка в условии. Я напишу решение, доказывающее факт для угла BAC, и примечание, что в условии, вероятно, опечатка в названии угла, либо точек. Решение:

Шаг 1. Анализ расположения элементов.

По условию, прямая MN является линией пересечения двух плоскостей (обозначим их условно β₁ и β₂, так как в тексте дважды встречается β). Точка A лежит на прямой MN.

Отрезок AB лежит в плоскости β₁ и перпендикулярен прямой MN (ABbotMN). Отрезок AC лежит в плоскости β₂ и перпендикулярен прямой MN (ACbotMN).

Шаг 2. Применение определения линейного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя лучами, которые: 1) имеют общую вершину на ребре двугранного угла; 2) лежат в гранях этого двугранного угла; 3) перпендикулярны ребру.

Проверим эти условия для угла BAC (вершина A): 1) Вершина A лежит на ребре MN (по условию). 2) Сторона AB лежит в плоскости β₁, сторона AC лежит в плоскости β₂ (по условию). 3) ABbotMN и ACbotMN (по условию).

Таким образом, все три условия определения выполнены для угла BAC.

Шаг 3. Заключение и корректировка.

Следовательно, угол BAC является линейным углом данного двугранного угла.

Примечание: В требовании задачи указано доказать, что линейным является угол ABC. Это невозможно при данной конфигурации, так как вершина угла ABC — точка B — не лежит на ребре MN (так как ABbotMN и AliesonMN, то B∉MN). Для угла ABC не выполняется первое условие определения (вершина на ребре). Поэтому в условии задачи, скорее всего, допущена опечатка, и требуется доказать, что линейным является угол BAC, либо точки A и B перепутаны местами в описании построения (если бы перпендикуляры шли из точки B на ребре, то угол ABC был бы линейным).