ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 162: Объём шара и площадь сферы

План доказательства:

1. Проведем из точки M перпендикуляр MO на плоскость α, где O — основание перпендикуляра. 2. Рассмотрим произвольную прямую l, проходящую через точку A в плоскости α. Пусть эта прямая образует с отрезком MA угол φ. 3. Докажем, что угол между прямой MA и ее проекцией AO (то есть угол φ₀) меньше или равен углу φ для любой другой прямой l. Вычисление и обоснование: По определению угла между прямой и плоскостью, φ₀=∠MAO. Так как MO⊥α, то треугольник MOA является прямоугольным с прямым углом при вершине O. Следовательно, cosφ₀=AO/AM.Пусть B — произвольная точка на прямой l (отличная от A). Рассмотрим треугольник MAB. Угол ∠MAB равен φ. По теореме косинусов или через проекции можно показать связь длин. Однако более наглядно использовать свойство наклонной и ее проекции.Проведем из точки O перпендикуляр к прямой l, пусть он пересекает l в точке K. Тогда по теореме о трех перпендикулярах MK⊥l. В прямоугольном треугольнике MKA гипотенуза MA больше катета AK, а в прямоугольном треугольнике OKA гипотенуза OA больше катета AK (если K≠A).Рассмотрим углы. В прямоугольном треугольнике MOA: sinφ₀=MO/MA. Для произвольной прямой l, проходящей через A, пусть она составляет угол β с проекцией AO. Угол φ между MA и l связан с φ₀ и β формулой: cosφ=cosφ₀·cosβ.Так как |cosβ|≤1, то |cosφ|≥|cosφ₀| (при условии острых углов, так как угол между прямой и плоскостью берется острым или прямым, а угол между скрещивающимися/пересекающимися прямыми также рассматривается как наименьший, т.е. ≤90^°).Функция косинуса убывает на промежутке [0^°;90^°]. Если cosφ≥cosφ₀, то φ≤φ₀? Нет, здесь нужно быть внимательным с направлением неравенства.Давайте проверим через синусы или геометрию. Угол φ₀ — это угол между наклонной MA и ее проекцией AO. Любой другой угол φ образуется между наклонной MA и какой-то другой прямой AB в плоскости. Из свойства наклонных известно, что наклонная к плоскости образует с прямой в этой плоскости минимальный угол именно со своей проекцией.Строгое доказательство через тригонометрию: Пусть n — вектор нормали к плоскости. Вектор прямой MA обозначим v. Угол φ₀ удовлетворяет условию sinφ₀=|v·n|/|v|. Для произвольной прямой в плоскости с направляющим вектором u (u⊥n), угол φ между v и u определяется как cosφ=|v·u|/|v||u|. Разложим вектор v на составляющую, параллельную плоскости (v_proj), и перпендикулярную ей (v_norm). Тогда v=v_proj+v_norm. Угол φ₀ — это угол между v и v_proj. То есть cosφ₀=|v·v_proj|/|v||v_proj|=|v_proj|²/|v||v_proj|=|v_proj|/|v|. Для произвольного вектора u в плоскости скалярное произведение v·u=(v_proj+v_norm)·u=v_proj·u, так как v_norm⊥u. Значит, cosφ=|v_proj·u|/|v||u|=|v_proj||u|cosθ/|v||u|=|v_proj|/|v|cosθ, где θ — угол между проекцией v_proj и вектором u. Итак, мы получили соотношение: cosφ=cosφ₀·cosθ.

Проверка и вывод: Мы показали, что для любой прямой в плоскости угол φ между ней и наклонной MA удовлетворяет условию φ≥φ₀. Равенство достигается только тогда, когда cosθ=1, то есть когда направление прямой совпадает с направлением проекции AO. Таким образом, угол φ₀ действительно является наименьшим из всех возможных углов.