ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 165: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для нахождения длины отрезка BC необходимо рассмотреть треугольник ABC. Сначала выразим длины наклонных AB и AC через расстояние от точки A до плоскости β (обозначим проекцию точки A на плоскость как O, тогда AO=d). Затем определим длину проекции BC на плоскость, используя теорему косинусов для треугольника, образованного проекциями наклонных. Наконец, применим теорему Пифагора или свойства прямоугольного треугольника, чтобы найти саму длину BC.

Вычисление.

1. Пусть AObotβ, где O — точка в плоскости β, и AO=d. Так как угол между наклонной и плоскостью равен углу между наклонной и её проекцией, то △AOB и △AOC — прямоугольные с углом при вершине B и C равным 30^o? Нет, угол наклона наклонной к плоскости — это угол между самой наклонной и её проекцией. То есть △AOB прямоугольный (△AOB имеет прямой угол при O), а угол △ABO не является углом наклона. Угол наклона наклонной AB к плоскости — это угол △ABO? Нет. Проекция наклонной AB на плоскость — это отрезок OB. Значит, угол между AB и плоскостью — это угол △ABO? Нет, это угол △ABO только если... Стоп. Определение: угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её ортогональной проекцией на эту плоскость. Следовательно, в прямоугольном треугольнике AOB (где △AOB=90^o) угол △ABO равен 30^o. Тогда:

Аналогично для наклонной AC: так как она также составляет с плоскостью угол 30^o, то

2. Рассмотрим треугольник BOC в плоскости β. По условию, проекции наклонных образуют угол 120^o, то есть △BOC=120^o. Стороны OB=OC=d3. Найдем сторону BC по теореме косинусов:

Здесь BC_proj — это длина отрезка BC в плоскости β? Нет, B и C лежат в плоскости β. Значит, отрезок BC лежит в плоскости β. Таким образом, мы нашли длину самого отрезка BC?

Давайте перечитаем условие внимательно: "Проекциями этих наклонных на плоскость являются отрезки, образующие между собой угол 120°". Это значит, что угол △BOC=120^o. Точки B и C находятся в плоскости β. Отрезок BC соединяет эти две точки в плоскости. Следовательно, найденный нами отрезок BC (как сторона треугольника BOC) и есть искомый отрезок.

Но подождите, обычно в таких задачах спрашивают расстояние между концами наклонных. Да, B и C — концы наклонных. Они лежат в плоскости. Значит, BC — это хорда в плоскости.

Однако, давайте проверим логику ключа. Ключ говорит 3d. Мы получили BC=3d. Всё сходится.

Проверка.

Рассмотрим равнобедренный треугольник BOC с боковыми сторонами d3 и углом при вершине 120^o. Основание можно найти, проведя высоту из вершины O к стороне BC. Высота делит угол 120^o пополам, получаем два прямоугольных треугольника с острым углом 60^o. Половина основания равна OB·sin(60^o)=d3·3/2=3d/2. Тогда всё основание BC=2·3d/2=3d. Результат подтвержден.