ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 163: Объём шара и площадь сферы
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Татьяна Белова, преподаватель геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Наклонная AM, проведенная из точки A к данной плоскости, равна d. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой AM и данной плоскостью равен
а) 45°
б) 60°
в) 30°?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В задачах на наклонные и их проекции ключевым является прямоугольный треугольник, образованный самой наклонной, её проекцией на плоскость и перпендикуляром к этой плоскости. Пусть A — точка вне плоскости, M — основание наклонной в плоскости, а H — основание перпендикуляра из точки A на плоскость. Тогда отрезок AM — это наклонная длиной d, отрезок HM — искомая проекция наклонной, а угол θ=∠AMH — это угол между наклонной и плоскостью (так как он измеряется между наклонной и её проекцией). Треугольник AHM прямоугольный с прямым углом при вершине H. Нам нужно найти катет HM, прилежащий к углу θ, зная гипотенузу AM=d.
Вычисление для каждого пункта.
Из определения косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике следует формула: HM=AM·cos(∠AMH)=d·cosθ
- а) Угол равен 45°. Подставляем значение: HM=d·cos45°=d·2/2=d2/2
- б) Угол равен 60°. Подставляем значение: HM=d·cos60°=d·1/2=d/2
- в) Угол равен 30°. Подставляем значение: HM=d·cos30°=d·3/2=d3/2
Проверка и вывод.
Логика решения опирается на базовое тригонометрическое соотношение в прямоугольном треугольнике. Проекция наклонной всегда меньше самой наклонной (d), так как косинус острых углов меньше единицы. При уменьшении угла наклона (от 60° до 30°) проекция увеличивается, что согласуется с геометрическим смыслом: чем ближе наклонная к плоскости, тем длиннее её тень (проекция). Полученные ответы совпадают с табличными значениями косинусов стандартных углов.
а) d2/2
б) d/2
в) d3/2
Задача сводится к применению определения косинуса в прямоугольном треугольнике, где наклонная является гипотенузой, а её проекция — прилежащим катетом.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 163 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 163?
Краткий ответ: а) d√22; б) d2; в) d√32.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 4. Объём шара и площадь сферы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.