ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 159: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости необходимо показать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости. Обозначим искомую прямую пересечения плоскостей ADM и BCM как l. Нам нужно доказать, что l⊥ABM. Для этого найдем две пересекающиеся прямые в плоскости ABM, которые будут перпендикулярны l. Естественными кандидатами являются прямые AB и BM, так как они лежат в плоскости ABM и пересекаются в точке B.

Вычисление и логическое обоснование.

1. Рассмотрим прямую AD. По условию ABCD — прямоугольник, следовательно, AD⊥AB. Также по условию прямая BM перпендикулярна плоскости ABCD, а значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая AD. Таким образом, AD⊥BM.
2. Так как AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и BM плоскости ABM, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости следует, что AD⊥(ABM).
3. Аналогично рассмотрим прямую BC. В прямоугольнике ABCD имеем BC⊥AB. Так как BM⊥(ABCD), то BM⊥BC. Следовательно, BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и BM плоскости ABM, откуда BC⊥(ABM).
4. Из пунктов 2 и 3 следует, что AD∥BC (так как обе перпендикулярны одной и той же плоскости). Это согласуется с тем, что ABCD — прямоугольник.
5. Теперь обратимся к прямой пересечения l плоскостей (ADM) и (BCM). Заметим, что плоскость (ABM) содержит прямые AB и BM. Мы уже доказали, что AD⊥(ABM) и BC⊥(ABM).
6. Прямая l лежит в плоскости (ADM). Поскольку AD⊥(ABM), то любая прямая в плоскости (ADM), проходящая через точку пересечения с (ABM)... подождите, более строгий подход:
   Докажем, что l∥AD и l∥BC.
   Плоскость (ADM) проходит через прямую AD. Плоскость (BCM) проходит через прямую BC. Так как AD∥BC, то линия пересечения этих двух плоскостей (l) параллельна обеим этим прямым. То есть l∥AD и l∥BC.
7. Так как AD⊥(ABM) (доказано в п. 2), а l∥AD, то и прямая l перпендикулярна плоскости (ABM).

Проверка.

Логика верна: если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая параллельная ей прямая также перпендикулярна этой плоскости. Мы установили, что боковые стороны прямоугольника AD и BC перпендикулярны плоскости ABM. Линия пересечения плоскостей ADM и BCM параллельна этим сторонам. Следовательно, она тоже перпендикулярна плоскости ABM. Утверждение доказано.