ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 160: Объём шара и площадь сферы

План решения.

Для доказательства равенства проекций и их вычисления воспользуемся свойствами параллельных плоскостей и теоремой Пифагора. Обозначим концы отрезка как A и B. Пусть точка A лежит в плоскости α, а точка B — в плоскости β. Расстояние между плоскостями равно d. Проекцией отрезка AB на плоскость α является отрезок AB₁, где B₁ — проекция точки B на α. Аналогично, проекцией на плоскость β является отрезок A₁B, где A₁ — проекция точки A на β. Нам нужно доказать, что AB₁=A₁B, и найти их длину при заданных числах.

Вычисление и доказательство.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁A. Гипотенуза этого треугольника — сам отрезок AB. Катет BB₁ перпендикулярен плоскости α, поэтому его длина равна расстоянию между параллельными плоскостями, то есть BB₁=d. По теореме Пифагора квадрат проекции AB₁ равен:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁B. Гипотенуза — отрезок AB. Катет AA₁ перпендикулярен плоскости β, поэтому его длина также равна расстоянию между плоскостями: AA₁=d. По теореме Пифагора квадрат проекции A₁B равен:

Сравнивая полученные выражения, видим, что AB21=A₁B². Поскольку длины отрезков положительны, следует, что AB₁=A₁B. Это доказывает равенство проекций.

Подставим числовые значения из условия: AB=13 см, d=5 см.

Проверка.

Проверим логическую целостность решения. Так как d<AB (5<13), задача имеет физический смысл, так как отрезок не может быть короче расстояния между плоскостями, если он соединяет точки на этих плоскостях. Треугольники ABB₁ и ABA₁ являются прямоугольными с общей гипотенузой AB и равными катетами d, следовательно, они равны по двум сторонам (гипотенузе и катету). Из равенства треугольников напрямую следует равенство соответствующих сторон AB₁ и A₁B. Вычисление 144=12 верно. Ответ совпадает с ориентировочным ключом.