ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 170: Многогранный угол

План решения:

• Расстояние от точки B до прямой AC — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины B на сторону AC. Обозначим основание этого перпендикуляра за точку D. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка BD.
• Расстояние от точки B до плоскости α — это длина перпендикуляра BB₁, где B₁ — проекция точки B на плоскость α.
• Двугранный угол при ребре AC образован плоскостями треугольника ABC и плоскостью α. Поскольку BD⊥AC и BB₁⊥α (значит, BB₁⊥AC), то по теореме о трёх перпендикулярах B₁D⊥AC. Следовательно, линейным углом данного двугранного угла является ∠BDB₁=45^°.

Вычисления:

1. Рассмотрим треугольник ABD. Так как BD — высота, опущенная на прямую AC, а ∠BAC=150^° (тупой угол), то основание высоты D лежит на продолжении стороны AC за точку A. Угол ∠BAD смежный с углом ∠BAC, поэтому: ∠BAD=180^°-150^°=30^° В прямоугольном треугольнике ABD (∠ADB=90^°) катет BD лежит против угла 30^°. По свойству прямоугольного треугольника, этот катет равен половине гипотенузы AB: BD=1/2AB=1/2·2=1 см Таким образом, расстояние от точки B до прямой AC равно 1 см .
2. Теперь рассмотрим треугольник BB₁D. Он прямоугольный, так как BB₁ перпендикулярна любой прямой в плоскости α, проходящей через B₁, включая B₁D. Гипотенузой здесь является отрезок BD, который мы уже нашли (BD=1). Угол ∠BDB₁ равен заданному двугранному углу 45^°. Катет BB₁ (расстояние от B до плоскости α) можно найти через синус угла ∠BDB₁: BB₁=BD·sin(∠BDB₁)=1·sin(45^°)=2/2 см Таким образом, расстояние от точки B до плоскости α равно 2/2 см .

Проверка:

Логика построения корректна: тупой угол при основании требует вынесения высоты за пределы отрезка AC, что не меняет формулу для нахождения катета против угла 30^°. Связь между расстоянием до прямой (BD) и расстоянием до плоскости (BB₁) через двугранный угол также стандартна. Числовые значения согласуются с ключом.