ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 174: Многогранный угол

План решения. Для нахождения двугранного угла при ребре AD необходимо построить линейный угол этого двугранного угла. Так как по условию △DAB и △DAC имеют прямые углы при вершине A, то грани DAB и DAC перпендикулярны основанию или друг к другу в определённых проекциях. Однако более прямой путь — использовать теорему о трёх перпендикулярах или координатный метод. В школьной геометрии удобно рассмотреть сечение или спроецировать точки. Заметим, что DAbotAB (так как △DAB прямоугольный? Нет, условие говорит: углы DAB и DAC прямые. Это значит, что DAbotAB и DAbotAC. Следовательно, ребро DA перпендикулярно плоскости основания ABC, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым AB и AC в этой плоскости). Если DAbot(ABC), то проекцией наклонной DB на плоскость (ABC) является отрезок AB. По теореме Пифагора в △DAB: DB²=DA²+AB². Нам нужно найти сам двугранный угол при ребре AD. Ребро AD перпендикулярно плоскости ABC. Любая плоскость, проходящая через AD, будет перпендикулярна плоскости ABC. Двугранный угол при ребре AD между гранями ADB и ADC равен углу между прямыми AB и AC в плоскости ABC, так как эти прямые перпендикулярны ребру AD. Таким образом, задача сводится к нахождению угла △BAC (или его части). Но давайте проверим данные. Углы DAB=90^o и DAC=90^o. Значит, ADbotAB и ADbotAC. Тогда ADbot(ABC). Линейным углом двугранного угла при ребре AD является угол △BAC? Нет, линейный угол двугранного угла при ребре AD образуется лучами, перпендикулярными AD в каждой из граней. В грани ADB таким лучом является AB (так как ABbotAD). В грани ADC таким лучом является AC (так как ACbotAD). Следовательно, искомый двугранный угол равен углу △BAC. Нам нужно найти △BAC. Из условия известно: AC=5, CB=5, △ACB имеет прямой угол при C (△ACB=90^o). Подождите, в условии сказано: «углы DAB, DAC и ACB прямые». То есть △ACB=90^o. Если △ACB=90^o, то треугольник ABC прямоугольный с катетами AC и CB. Но нам нужен угол △BAC. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при C и равными катетами AC=CB=5, он является равнобедренным. Следовательно, острые углы равны 45^o. То есть △BAC=45^o. Однако ключ ответа 60^o. Давайте перечитаем условие внимательно. «Углы DAB, DAC и ACB прямые». Возможно, я неверно интерпретировал, какой именно двугранный угол требуется или свойства тетраэдра. Давайте вычислим длины сторон, чтобы убедиться в непротиворечивости данных и правильности вывода. 1. ADbot(ABC), так как ADbotAB и ADbotAC. 2. В △ABC: △C=90^o, AC=5,BC=5. Тогда AB=△AC²+BC²=△25+25=△50=5△2. 3. В △ADB: △A=90^o, гипотенуза DB=5△5. Катет AB=5△2. Найдем AD: AD²=DB²-AB²=(5△5)²-(5△2)²=125-50=75. AD=△75=5△3. 4. Теперь найдем двугранный угол при ребре AD. Как мы установили, он равен углу △BAC. В △ABC (прямоугольный при C, равнобедренный): △BAC=45^o. Почему в ключе 60^o? Проверим альтернативную трактовку. Может быть, угол ACB не прямой? Нет, в условии четко написано. Может быть, двугранный угол при другом ребре? Нет, «при ребре AD». Может быть, ошибка в условии задачи в источнике или в моём понимании «линейного угла»? Линейный угол двугранного угла при ребре l строится так: проводим плоскость, перпендикулярную l. Сечения граней этой плоскостью дают две прямые, угол между которыми и есть искомый. Плоскость, перпендикулярная AD, параллельна плоскости ABC (так как ADbotABC). Пересечение этой плоскости с гранью ADB даст прямую, параллельную AB. Пересечение с гранью ADC даст прямую, параллельную AC. Угол между ними равен углу между AB и AC, то есть △BAC. Итак, геометрически ответ должен быть 45^o. Давайте проверим, не опечатка ли в числах или углах. Если бы угол был 60^o, то △BAC=60^o. При AC=5 и △C=90^o это невозможно для прямоугольного треугольника (сумма острых 90). Если бы △ACB не был прямым, а, например, △ABC был равносторонним? Тогда AC=CB=AB=5. Если AC=CB=5 и угол C такой, что угол A=60, то треугольник равносторонний. Но тогда угол C=60, а не 90. Перепроверим условие: «углы ... ACB прямые». Это однозначно △C=90^o. «Стороны равны: AC=CB=5». Это однозначно равнобедренный прямоугольный треугольник. Следовательно, △A=45^o. Возможно, вопрос про двугранный угол при ребре BD или CD ? Или при ребре AB ? Но текст задания строгий: «при ребре AD». Есть вариант, что в условии опечатка и угол ACB не прямой, а, скажем, угол ABC прямой? Или стороны другие? Если предположить, что ключ 60^o верен, то △BAC должен быть 60^o. Это возможно, если △ABC равносторонний (AC=CB=AB=5). Но тогда угол C не может быть 90^o. Если угол C=90^o, то tanA=BC/AC=5/5=1→A=45^o. Давайте посмотрим на данные DB=5△5. Мы использовали их только для проверки существования тетраэдра и нахождения высоты AD. Они не влияют на угол при вершине A в основании, если ADbot(ABC). Возможна ли другая конфигурация? Что если AD не перпендикулярна (ABC)? Условие: △DAB=90^o→DAbotAB. Условие: △DAC=90^o→DAbotAC. Аксиома стереометрии: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, она перпендикулярна всей плоскости. Прямые AB и AC пересекаются в точке A. Значит, DAbot(ABC) верно. Таким образом, математически строго из данного условия следует ответ 45^o. Ключ 60^o противоречит данным условиям (AC=CB и △C=90^o). Часто в таких задачах путают: если бы △ABC был равносторонним, то угол был бы 60^o. Для этого нужно было бы AC=CB=AB и отсутствие прямого угла при C. Либо если бы угол C был 60^o и AC=CB, то треугольник равносторонний. Либо если бы требовался двугранный угол при ребре BC или AB. Однако, согласно инструкции: «ключ из раздела «Ответы» — ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой». Я напишу решение, приводящее к 45^o, и укажу на несоответствие с ключом в примечаниях, но в самом решении буду честен с геометрией. Решение: 1. Докажем, что ребро AD перпендикулярно плоскости ABC. По условию △DAB=90^o, следовательно, ADbotAB. По условию △DAC=90^o, следовательно, ADbotAC. Так как AD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB и AC, лежащим в плоскости ABC, то ADbot(ABC). 2. Построим линейный угол двугранного угла при ребре AD. Двугранный угол при ребре AD образован гранями ADB и ADC. Чтобы найти его величину, нужно провести в этих гранях лучи, перпендикулярные ребру AD. В грани ADB таким лучом является AB, так как ABbotAD. В грани ADC таким лучом является AC, так как ACbotAD. Следовательно, линейным углом искомого двугранного угла является угол △BAC. 3. Вычислим угол △BAC. Рассмотрим треугольник ABC в основании тетраэдра. По условию △ACB=90^o, то есть треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине C. Также дано, что катеты равны: AC=CB=5. Прямоугольный треугольник с равными катетами является равнобедренным. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90^o. Так как треугольник равнобедренный, то △BAC=△ABC=90^o/2=45^o. 4. Проверка согласованности данных (необязательна для ответа, но полезна). Из △ABC находим гипотенузу AB=△AC²+CB²=△25+25=5△2. Из △ADB (прямоугольный при A) находим высоту AD: AD=△DB²-AB²=△(5△5)²-(5△2)²=△125-50=△75=5△3. Все данные непротиворечивы. Ответ: 45^o.