ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 175: Многогранный угол
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Кирилл Панов, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Докажите, что если все рёбра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите величину этих углов.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
1. Докажем равенство всех двугранных углов тетраэдра, используя симметрию и свойства равносторонних треугольников (граней).
2. Вычислим величину двугранного угла с помощью теоремы косинусов или векторного метода, опираясь на геометрию правильного тетраэдра.
Вычисление:
Пусть дан правильный тетраэдр ABCD со стороной ребра a. Все его грани являются равносторонними треугольниками со стороной a.
Доказательство равенства углов:
Рассмотрим двугранный угол при ребре AB. Он образован гранями ABC и ABD. Проведем в этих гранях высоты CM и DM, опущенные из вершин C и D на общее ребро AB. Так как грани — равносторонние треугольники, то M — середина AB, а CM=DM=a3/2. Линейный угол двугранного угла при ребре AB — это угол CMD.
Аналогично для любого другого ребра тетраэдра линейный угол двугранного угла будет образован двумя медианами (высотами) соответствующих граней, проведенными к этому ребру. Из-за полной симметрии правильного тетраэдра все такие конструкции конгруэнтны. Следовательно, все двугранные углы равны между собой.
Нахождение величины угла:
Рассмотрим треугольник CMD. Нам нужно найти угол α=∠CMD.
Стороны этого треугольника:
- CM=a3/2
- DM=a3/2
- CD=a (так как CD — ребро тетраэдра)
Применим теорему косинусов к треугольнику CMD:
CD2=CM2+DM2-2·CM·DM·cosα a2=(a3/2)2+(a3/2)2-2·a3/2·a3/2·cosα a2=3a2/4+3a2/4-2·3a2/4·cosα a2=6a2/4-6a2/4cosα a2=3a2/2(1-cosα)Разделим обе части на a2 (так как a≠0):
1=3/2(1-cosα) 2/3=1-cosα cosα=1-2/3=1/3Таким образом, косинус двугранного угла равен 1/3.
Проверка:
Значение cosα=1/3 является стандартным результатом для правильного тетраэдра. Угол α=arccos(1/3) приблизительно равен 70.53°, что соответствует 70°32′. Это значение меньше 90°, что согласуется с геометрической интуицией: грани тетраэдра «наклонены» друг к другу под острым углом.
cosα=1/3,α≈70°32′
В решении использовано определение линейного угла двугранного угла через высоты граней, проведенные к общему ребру. Для правильного тетраэдра эти высоты совпадают с медианами. Расчет выполнен по теореме косинусов в треугольнике, образованном двумя высотами и третьим ребром.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 175 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 175?
Краткий ответ: = 13, 70^ 32'.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 26. Многогранный угол.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.