ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 178: Многогранный угол

План доказательства. Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой плоскости, необходимо воспользоваться признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, то она перпендикулярна самой плоскости. В нашем случае мы знаем, что прямая a (в плоскости β) перпендикулярна линии пересечения c. Нам нужно найти вторую прямую в плоскости β, которая также будет перпендикулярна прямой a.

Ход решения. Пусть даны две взаимно перпендикулярные плоскости β и β′, пересекающиеся по прямой c. Пусть в плоскости β проведена прямая a, такая что abotc. Требуется доказать, что abotβ′. 1. Так как плоскости β и β′ взаимно перпендикулярны, то линейный угол двугранного угла между ними равен 90^o. Это означает, что любая прямая в одной из этих плоскостей, перпендикулярная линии пересечения c, образует прямой угол с любой прямой в другой плоскости, исходящей из той же точки на c и лежащей в этой второй плоскости? Нет, это определение перпендикулярных плоскостей через двугранный угол. Более строгий подход: 2. Возьмём точку M пересечения прямой a и прямой c. Проведём в плоскости β′ прямую b, проходящую через точку M. Нам нужно показать, что угол между a и b равен 90^o для произвольной прямой b в плоскости β′. Однако признак требует перпендикулярности к двум пересекающимся прямым. 3. Воспользуемся свойством перпендикулярных плоскостей. Если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведённая в одной из них перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости. Это утверждение часто принимается как теорема или следствие определения. 4. Докажем это строго через векторы или геометрию. Пусть O — точка на c. В плоскости β пусть abotc. В плоскости β′ возьмём любую прямую l, проходящую через O. Угол между плоскостями измеряется линейным углом двугранного угла. Поскольку плоскости перпендикулярны, линейный угол равен 90^o. Линейный угол образуется лучами, перпендикулярными ребру c в каждой из граней. Луч прямой a перпендикулярен c в грани β. Любой луч в грани β′, перпендикулярный c, будет образовывать с лучом a угол 90^o. Но нам нужно, чтобы a была перпендикулярна всей плоскости β′. 5. Рассмотрим две пересекающиеся прямые в плоскости β′, проходящие через точку M=abotc: саму прямую c и некоторую другую прямую d в плоскости β′, не совпадающую с c. По условию abotc. Осталось доказать, что abotd? Нет, признак перпендикулярности прямой и плоскости гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Мы знаем abotc. Нам нужна вторая прямая. Давайте используем определение перпендикулярности плоскостей. Плоскость β перпендикулярна β′, если она проходит через прямую, перпендикулярную β′. Или наоборот. Стандартное доказательство: Пусть abotc в плоскости β. Возьмём в плоскости β′ прямую b, перпендикулярную c в точке пересечения. Тогда угол между a и b равен углу между плоскостями, то есть 90^o. Значит, abotb. Теперь у нас есть: abotc и abotb. Прямые c и b лежат в плоскости β′ и пересекаются в точке M. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, abotβ′.

Проверка и вывод. Мы использовали факт, что линейный угол двугранного угла при перпендикулярных плоскостях равен 90^o. Прямая a перпендикулярна ребру c. Прямая b в другой грани также перпендикулярна ребру c. Угол между a и b является линейным углом двугранного угла, значит, он прямой. Таким образом, прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым (c и b) плоскости β′. Условие выполнено полностью. Теорема доказана.