ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 182: Многогранный угол

План решения:

• Для пункта а) проанализируем углы четырёхугольника ACBM, используя свойства перпендикулярности прямой и плоскости.
• Для пункта б) применим теорему Пифагора к треугольнику, образованному диагональю прямоугольника.

Решение пункта а): Доказательство того, что ACBM — прямоугольник.

По условию задачи MA⊥α и MB⊥β. Так как прямая a лежит в плоскости α, то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, MA⊥a. Аналогично, так как прямая a лежит в плоскости β, то MB⊥a.

Прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым (MA и MB), лежащим в плоскости AMB. Следовательно, a⊥(AMB). Поскольку точка C является точкой пересечения прямой a с плоскостью AMB, то отрезок MC лежит в этой плоскости. Значит, a⊥MC, то есть угол MCA=90^° (или ∠ACM=90^°).

Также из условия следует, что MA⊥AC (так как AC часть прямой a) и MB⊥BC (так как BC часть прямой a). Таким образом, в четырёхугольнике ACBM три угла являются прямыми: ∠MAC=90^°, ∠MBC=90^° и ∠MCA=90^°. Четырёхугольник с тремя прямыми углами является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Решение пункта б): Нахождение расстояния от точки M до прямой a.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Мы уже доказали, что MC⊥a. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка MC.

В прямоугольнике ACBM диагональ MC равна диагонали AB. Рассмотрим треугольник AMB. Так как плоскости α и β взаимно перпендикулярны, а MA⊥α и MB⊥β, то угол между перпендикулярами MA и MB равен углу между плоскостями или дополняет его до 180^°. В данном случае, поскольку MA и MB направлены «внутрь» двугранного угла, образованного перпендикулярными плоскостями, угол ∠AMB=90^°.

Тогда треугольник AMB — прямоугольный с катетами AM=m и BM=n. По теореме Пифагора найдём гипотенузу AB:

Так как ACBM — прямоугольник, то его диагонали равны: MC=AB. Следовательно, расстояние от точки M до прямой a равно m²+n².

Проверка:

Логика построения верна: перпендикулярность прямой линии пересечения к плоскости, проходящей через перпендикуляры к граням, гарантирует образование прямоугольника. Вычисление длины диагонали через теорему Пифагора корректно для данного геометрического конфигурации.