ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 185: Многогранный угол

План доказательства:

• Выберем на прямой a произвольную точку M.
• Проведём из точки M перпендикуляр к плоскости β, проходящей через прямую a и параллельной плоскости β. Нет, проще: проведём в пространстве прямую b, проходящую через точку M и перпендикулярную плоскости β. Это не совсем то. Давайте стандартный путь.

Более строгий план:

1. Возьмём на прямой a точку A.
2. Проведём из точки A перпендикуляр AB к плоскости β.
3. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую a и перпендикулярную плоскости β. Построение такой плоскости возможно, если мы возьмём проекцию прямой a на плоскость β или используем свойство перпендикуляра.

Вычисление (логическое доказательство):

Пусть дана прямая a и плоскость β, причём a не перпендикулярна β. Нам нужно доказать существование плоскости β, содержащей a и перпендикулярной β.

1. Возьмём на прямой a произвольную точку M.

2. Проведём из точки M перпендикуляр MH к плоскости β. Так как прямая a не перпендикулярна плоскости β, то точка H (основание перпендикуляра) не совпадает с точкой M (если бы совпала, то a была бы перпендикулярна β, что противоречит условию). Более того, прямая a не лежит в плоскости, перпендикулярной β и проходящей через M? Нет, это лишнее.

3. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую a и точку H. Эта плоскость существует и единственна, так как она определена прямой a и точкой H, не лежащей на ней (так как MHbotβ, а a не перпендикулярна β, значит угол между a и MH не равен 0 или 180, но главное — H не лежит на a, иначе abotβ).

4. Покажем, что плоскость βbotβ. По признаку перпендикулярности плоскостей, если одна плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

5. В плоскости β лежит прямая MH (так как мы построили её через M и H). При этом MHbotβ по построению.

6. Следовательно, плоскость β, содержащая перпендикуляр MH к плоскости β, перпендикулярна плоскости β.

7. Так как плоскость β содержит прямую a (по построению) и перпендикулярна плоскости β, то такая плоскость существует.

Проверка:

Если бы прямая a была перпендикулярна плоскости β, то любая плоскость, проходящая через a, была бы перпендикулярна β. Условие говорит, что a не перпендикулярна β. Наше построение опирается на то, что мы можем провести единственный перпендикуляр из точки на прямой к плоскости. Плоскость, натянутая на эту прямую и данный перпендикуляр, будет единственной для выбранной точки M. Однако, задача требует доказать существование . Мы нашли конкретную плоскость. Она проходит через a и содержит перпендикуляр к β, значит, она перпендикулярна β. Логика верна.