ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 183: Многогранный угол

План доказательства.

Чтобы доказать перпендикулярность прямой a плоскости γ, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Нам нужно показать, что прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости γ. Так как дано, что плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ, мы можем провести в них линии пересечения с γ или использовать свойства проекций. Более строгий путь: пусть точка M лежит на прямой a. Проведем через точку M в плоскости α прямую m, перпендикулярную линии пересечения α∩γ, и аналогично в плоскости β прямую n. Однако проще использовать теорему о перпендикуляре к плоскости: если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то их линия пересечения перпендикулярна этой третьей плоскости. Докажем это свойство напрямую.

Ход решения.

1. Пусть точка A — произвольная точка на прямой a (линии пересечения плоскостей α и β). 2. Так как плоскость α⊥ плоскости γ, то любой перпендикуляр, опущенный из точки A на плоскость γ, должен лежать в плоскости α. Обозначим этот перпендикуляр за AH, где H — основание перпендикуляра в плоскости γ. 3. Аналогично, так как плоскость β⊥ плоскости γ, то тот же самый перпендикуляр AH, опущенный из точки A на плоскость γ, должен лежать в плоскости β. 4. Таким образом, прямая AH принадлежит одновременно обеим плоскостям α и β. 5. По условию, единственной общей линией плоскостей α и β является прямая a. Следовательно, прямая AH совпадает с прямой a. 6. Поскольку AH⊥γ по построению, а AH есть часть прямой a, то вся прямая a перпендикулярна плоскости γ.

Проверка и вывод.

Мы использовали фундаментальное свойство взаимного расположения плоскостей: если из точки, лежащей на линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей, опустить перпендикуляр на третью плоскость, то этот перпендикуляр будет лежать в обеих первых плоскостях. Единственная прямая, принадлежащая обеим плоскостям α и β, — это их линия пересечения a. Значит, именно она и является перпендикуляром к плоскости γ. Утверждение доказано.