ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 186: Многогранный угол

План доказательства. Доказательство состоит из двух частей: сначала мы покажем существование такой прямой (общий перпендикуляр), а затем докажем её единственность . Для существования будем использовать метод параллельного переноса и свойства плоскостей. Для единственности применим метод от противного или анализ взаимного расположения прямых в пространстве.

Доказательство существования.

1. Возьмём произвольную точку M на прямой b. Через эту точку проведём прямую a′, параллельную прямой a (a′∥a).
2. Прямые a′ и b пересекаются в точке M, значит, они определяют некоторую плоскость β.
3. Так как прямая a скрещивается с b, то a не лежит в плоскости β и не параллельна ей (иначе a была бы параллельна b или лежала в одной плоскости с ней). Проведём через прямую a плоскость β′, параллельную плоскости β. Это возможно, так как a∥a′, а a′∉β.
4. Опустим из точки M перпендикуляр MN на плоскость β′. Точка N будет лежать на прямой a (так как проекция точки на плоскость, содержащую прямую, при определённых условиях... стоп, давайте точнее). Давайте используем более стандартный геометрический подход:
5. Через прямую a проведём плоскость β, параллельную прямой b. Это возможно, так как a и b скрещиваются.
6. Спроектируем прямую b ортогонально на плоскость β. Пусть проекцией является прямая b′. Так как b∥β, то b′∥b.
7. Прямые a и b′ лежат в одной плоскости β. Поскольку a и b скрещиваются, то a и b′ не могут быть параллельны (иначе a∥b). Значит, a и b′ пересекаются в некоторой точке K.
8. Восстановим из точки K перпендикуляр к плоскости β. Этот перпендикуляр пересечёт прямую b в некоторой точке L (так как b параллельна β и находится на фиксированном расстоянии от неё, а перпендикуляр к β параллелен направлению смещения между b и b′).
9. Рассмотрим прямую KL. По построению KL⊥β, а так как aliesinβ, то KL⊥a. Также KL соединяет точки на a и b. Нужно проверить перпендикулярность к b. Вектор KL перпендикулярен плоскости β. Прямая b параллельна плоскости β. Это не гарантирует перпендикулярности KL и b. Данный путь сложен. Вернёмся к классическому доказательству через общий перпендикуляр:
10. Выберем на прямой a произвольную точку A₁, а на прямой b — точку B₁. Построим векторы a и b, направляющие эти прямые.
11. Найдём вектор n=[a,b] (векторное произведение). Он перпендикулярен обеим прямым.
12. Общий перпендикуляр должен быть параллелен вектору n. Покажем, что такая прямая существует. Рассмотрим плоскость β, проходящую через прямую a и параллельную прямой b. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине общего перпендикуляра. Существование кратчайшего расстояния между двумя замкнутыми множествами (или прямыми) в евклидовом пространстве гарантировано теоремой о существовании минимума функции расстояния. Геометрически: пусть H_a — проекция прямой b на плоскость, перпендикулярную a? Нет. Стандартное школьное доказательство: 1. Через прямую a проведём плоскость β, параллельную прямой b. 2. Спроектируем прямую b на плоскость β ортогональной проекцией. Получим прямую b′. 3. Так как b∥β, то b′∥b. 4. Прямые a и b′ лежат в плоскости β. Они не параллельны (иначе a∥b), значит, пересекаются в точке P. 5. Восстановим из точки P перпендикуляр к плоскости β. Пусть он пересекает прямую b в точке Q. 6. Прямая PQ перпендикулярна плоскости β, следовательно, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности, прямой a. То есть PQ⊥a. 7. Осталось показать, что PQ⊥b. Рассмотрим прямоугольник (или параллелограмм), образованный точками P,Q и их проекциями. Вектор PQ перпендикулярен плоскости β. Прямая b параллельна плоскости β. Это не означает, что PQ⊥b. На самом деле, если b параллельна β, то угол между b и нормалью к β равен 90 градусам только если b лежит в плоскости, перпендикулярной нормали? Нет. Нормаль к β перпендикулярна ВСЕМ прямым, лежащим в β или параллельным β. Да! Если прямая параллельна плоскости, то она перпендикулярна нормально к этой плоскости? Нет, это ошибка. Прямая, параллельная плоскости, может иметь любой угол с нормалью, кроме того, что проекция на нормаль равна нулю? Нет. Угол между прямой и плоскостью определяется углом с проекцией. Если прямая параллельна плоскости, угол с плоскостью 0. Значит, угол с нормалью 90 градусов. Верно. b∥βandn⊥βimpliesb⊥n. Следовательно, PQ⊥b. 8. Таким образом, прямая PQ пересекает a (в точке P) и b (в точке Q) и перпендикулярна обеим. Существование доказано.

Доказательство единственности.

• Предположим, что существуют две различные общие перпендикуляры l₁ и l₂, пересекающие a и b.
• Пусть l₁ пересекает a в A₁, а b в B₁. Пусть l₂ пересекает a в A₂, а b в B₂.
• Так как l₁⊥a и l₂⊥a, то l₁ и l₂ параллельны друг другу (обе перпендикулярны одной прямой a? Нет, в пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, не обязательно параллельны. Но здесь они ещё и пересекают b).
• Рассмотрим плоскость β, проходящую через l₁ и параллельную l₂? Или проще: пусть l₁ и l₂ параллельны. Тогда они задают плоскость β. Эта плоскость содержит A_1,B_1,A_2,B₂. Значит, прямые a и b лежат в плоскости β (так как содержат по две точки из β). Но по условию a и b скрещивающиеся, то есть не лежат в одной плоскости. Противоречие.
• Если l₁ и l₂ не параллельны, то они либо пересекаются, либо скрещиваются. Если они пересекаются, то точка пересечения должна принадлежать обеим. Но l₁ и l₂ имеют разные основания на a и b. Можно доказать, что два общих перпендикуляра должны быть параллельны. Действительно, направление общего перпендикуляра однозначно задается вектором, перпендикулярным направлениям обеих прямых (если такие направления не коллинеарны). Векторное произведение a×b дает единственное направление (с точностью до знака). Следовательно, любые общие перпендикуляры параллельны. А мы уже показали, что два параллельных общих перпендикуляра приводят к тому, что исходные прямые компланарны, что невозможно для скрещивающихся.

Проверка и вывод.

Мы доказали, что общая перпендикулярная прямая существует (построена через проекцию на параллельную плоскость) и что она единственна (так как любое другое предположение ведёт к нарушению условия скрещивания прямых). Таким образом, утверждение верно.