ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 189: Многогранный угол

План решения.

В кубе расстояние от вершины до грани, которой эта вершина не принадлежит, равно длине ребра куба. Действительно, если взять вершину A и грань, противоположную ей (или любую другую, не содержащую A, но параллельную одной из граней при A), то перпендикуляр к этой грани из точки A будет совпадать с ребром куба или быть ему равным по длине. В любом случае искомое расстояние h равно стороне куба a. Нам нужно выразить a через данные диагонали.

Вычисление.

а) Диагональ грани куба равна m. Грани куба — это квадраты со стороной a. По теореме Пифагора для диагонали квадрата имеем:

Отсюда находим сторону куба (и, следовательно, искомое расстояние):

Таким образом, расстояние от вершины до грани равно m2/2.

б) Диагональ куба равна d. Формула диагонали куба со стороной a имеет вид:

Выразим отсюда сторону куба:

Следовательно, искомое расстояние равно d3/3.

Проверка.

Рассмотрим геометрический смысл. Вершина куба удалена от трех смежных граней на расстояние 0 (так как лежит в них). От трех остальных граней она удалена на расстояние, равное длине ребра a. Например, если вершина находится в начале координат (0,0,0), а куб расположен в первом октанте, то грани имеют уравнения x=0,y=0,z=0 (проходят через вершину) и x=a,y=a,z=a (не проходят через вершину). Расстояние от точки (0,0,0) до плоскости x=a равно |a-0|=a. Аналогично для других граней. Значит, задача сводится к нахождению ребра куба. Полученные формулы выражают ребро через диагональ грани и диагональ куба корректно.