ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 193: Многогранный угол

План решения.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ введем обозначения для измерений: длина ребра AB=n, ширина ребра AD=b, высота ребра AA₁=h. Нам даны диагонали: пространственная диагональ D₁B=d и диагональ основания AC=m. Расстояние между прямой и плоскостью (или двумя параллельными плоскостями) равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки одной фигуры на другую. Используем теорему Пифагора для связей между сторонами и диагоналями.

Вычисление.

а) Расстояние между прямой A₁C₁ и плоскостью ABC.

Прямая A₁C₁ лежит в верхней грани A₁B₁C₁D₁, которая параллельна нижней грани ABC. Следовательно, расстояние между ними равно высоте параллелепипеда h. Рассмотрим треугольник D₁DB: он прямоугольный (DD₁⊥DB), где катет DD₁=h, а гипотенуза D₁B=d. Катет DB является диагональю основания ABCD. Так как основание — прямоугольник, то его диагонали равны: DB=AC=m. По теореме Пифагора: d²=h²+m²⇒h=d²-m² Таким образом, искомое расстояние равно d²-m².

б) Расстояние между плоскостями ABB₁ и DCC₁.

Эти плоскости соответствуют боковым граням параллелепипеда и параллельны друг другу. Расстояние между ними равно длине ребра AD (обозначим его b), так как AD⊥AB и AD⊥AA₁, то есть AD перпендикулярно обеим плоскостям. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC (угол D прямой): катеты AD=b и DC=AB=n, гипотенуза AC=m. По теореме Пифагора: m²=b²+n²⇒b=m²-n² Искомое расстояние равно m²-n².

в) Расстояние между прямой DD₁ и плоскостью ACC₁.

Прямая DD₁ параллельна плоскости ACC₁ (так как DD₁∥CC₁, а CC₁ лежит в этой плоскости). Расстояние от прямой до плоскости равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости. Возьмем точку D. Проведем перпендикуляр DH из точки D к прямой AC в основании ABCD. Так как ребро DD₁ перпендикулярно основанию, то по теореме о трех перпендикулярах DH будет перпендикулярен и всей плоскости ACC₁. Значит, длина отрезка DH — это искомое расстояние. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC с катетами AD=b=m²-n², DC=n и гипотенузой AC=m. Высота DH, проведенная к гипотенузе, вычисляется через площадь треугольника: S_ADC=1/2AD·DC=1/2AC·DH Отсюда: DH=AD·DC/AC=m²-n²·n/m=nm²-n²/m

Проверка.

Все полученные выражения имеют размерность длины. В пункте а) под корнем стоит разность квадратов диагоналей, что корректно при d>m. В пункте б) под корнем разность квадратов диагонали основания и стороны, корректно при m>n. В пункте в) результат представляет собой произведение стороны и высоты, деленное на диагональ, что соответствует формуле высоты прямоугольного треугольника. Ответы совпадают с ожидаемыми геометрическими соотношениями в прямоугольном параллелепипеде.