ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 194: Многогранный угол

План решения.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми в кубе удобно использовать метод координат или геометрические построения с использованием перпендикуляров. В обоих случаях мы будем искать общий перпендикуляр к данным прямым или проекцию одной прямой на плоскость, параллельную другой.

а) Расстояние между диагональю куба и ребром куба.

Пусть ребро куба равно a. Рассмотрим диагональ куба AC₁ и ребро BB₁, которое не пересекает эту диагональ и не параллельно ей (скрещивающиеся прямые).

Проведем через ребро BB₁ плоскость, параллельную диагонали AC₁. Однако более простой путь — рассмотреть треугольник, образованный диагональю грани и диагональю куба.

Заметим, что расстояние от середины диагонали куба до любого ребра, не имеющего с ней общей точки, можно найти через свойства симметрии. Но давайте воспользуемся стандартным геометрическим подходом: спроектируем диагональ куба на грань, содержащую данное ребро? Нет, это сложно.

Рассмотрим диагональ куба d=a3. Возьмем ребро AA₁. Диагональ BD₁ скрещивается с AA₁. Проведем плоскость через BD₁ и середину AA₁?

Более надежный способ: используем формулу расстояния между скрещивающимися прямыми через объем тетраэдра или векторное произведение. Пусть начало координат в вершине A(0,0,0). Ребро AA₁ лежит на оси Oz. Точки: A(0,0,0), A₁(0,0,a). Направление ребра k=(0,0,1). Диагональ BC₁: B(a,0,0), C₁(a,a,a). Вектор диагонали v=(0,a,a).

Вектор, соединяющий точку на одном ребре с точкой на другом: возьмем A(0,0,0) и B(a,0,0). AB=(a,0,0).

Расстояние h вычисляется как модуль смешанного произведения векторов AB, k и v, деленный на модуль векторного произведения k×v.

k×v=ijk0010aa=(-a)i+0j+0k=(-a,0,0)

Модуль этого вектора: |k×v|=a.

Смешанное произведение (AB,k,v)=AB·(k×v)=(a,0,0)·(-a,0,0)=-a².

Тогда расстояние h=|-a²|/a=a.

Проверка по ключу: Ключ дает ответ a3/2. Это значение равно половине длины диагонали куба (a3/2). Где ошибка в условии или интерпретации? Обычно задача «расстояние между диагональю куба и ребром» подразумевает ребро, которое не имеет общих точек с диагональю. В моем примере AA₁ и BC₁ не имеют общих точек. Ответ a кажется слишком простым. Давайте пересмотрим геометрию.

Если взять диагональ AC₁ и ребро BB₁. Они скрещиваются. Проекция AC₁ на плоскость ABB₁A₁ есть диагональ AB₁. Угол между AC₁ и плоскостью... нет.

Давайте посмотрим на классическое решение для пары «диагональ куба и ребро». Часто имеется в виду расстояние от центра куба до ребра? Нет, «между прямыми».

Рассмотрим правильный тетраэдр, вписанный в куб. Его ребра — диагонали граней. Диагональ куба проходит через центр.

Попробуем другой вариант: диагональ AC₁ и ребро DD₁.

Координаты: D(0,a,0), D₁(0,a,a). Вектор ребра u=(0,0,1).

Диагональ AC₁: A(0,0,0), C₁(a,a,a). Вектор v=(1,1,1)a.

Вектор связи AD=(0,a,0).

u×v=(0,0,1)×(1,1,1)=(-1,1,0). Модуль 2.

Смешанное произведение AD·(u×v)=(0,a,0)·(-1,1,0)=a.

Расстояние h=a/2=a2/2.

Ни один из моих расчетов не совпал с ключом a3/2.

Однако, если задача предполагает расстояние между диагональю куба и диагональю грани , то это пункт б).

Вернемся к пункту а). Возможно, в учебнике подразумевается расстояние от середины диагонали куба до ребра? Или же речь идет о расстоянии между двумя скрещивающимися диагоналями граней ? Нет, написано «ребро».

Давайте проверим известный факт: расстояние между диагональю куба и ребром, не имеющим с ней общих точек, действительно может быть разным в зависимости от выбора ребра? Нет, все такие ребра эквивалентны симметрией.

Есть ли ребро, которое ближе?

Рассмотрим диагональ AC₁. Ближайшее к ней ребро — это, например, BB₁?

Уравнение прямой AC₁: x=y=z.

Уравнение прямой BB₁: x=a,y=0.

Квадрат расстояния между точками (t,t,t) и (a,0,s):

D²=(t-a)²+t²+(t-s)²

Минимизируем по s: производная по s равна -2(t-s)=0⇒s=t.

Подставляем s=t: D²=(t-a)²+t²=2t²-2at+a²

Минимум при t=2a/4=a/2.

D2min=2(a/2)²-2a(a/2)+a²=a²/2-a²+a²=a²/2

D=a/2=a2/2

Мой расчет дает a2/2. Ключ говорит a3/2.

Разница в том, что a3/2 — это половина пространственной диагонали. Это расстояние от центра куба до вершины.

Возможно, в пункте а) опечатка в ключе или в условии (например, имелось в виду расстояние между центрами граней?). Но я обязан решать строго по условию. Если условие «диагональ куба и ребро», математически корректный ответ a2/2.

Однако, иногда под «расстоянием между скрещивающимися прямыми» в школьных задачах могут путать с расстоянием от точки до прямой.

Давайте посмотрим на пункт б), чтобы понять логику автора.

б) Расстояние между диагональю куба и диагональю грани куба.

Пусть даны диагональ куба AC₁ и диагональ грани BD. Эти прямые скрещиваются.

Координаты: A(0,0,0), C₁(a,a,a). Вектор v₁=(1,1,1).

Грань ABCD лежит в плоскости z=0. Диагональ BD: B(a,0,0), D(0,a,0). Вектор v₂=(-1,1,0).

Вектор связи AB=(a,0,0).

Найдем нормаль к обеим прямым: n=v₁×v₂.

n=ijk111-110=(-1)i-(1)j+(2)k=(-1,-1,2)

Модуль нормали: |n|=(-1)²+(-1)²+2²=1+1+4=6.

Расстояние h=|AB·n|/|n|.

AB·n=(a,0,0)·(-1,-1,2)=-a

h=|-a|/6=a/6=a6/6

Этот результат точно совпадает с ключом для пункта б) (a6/6, где в ключе опечатка d вместо a).

Возврат к пункту а).

Так как пункт б) решен верно и совпал с ключом, а пункт а) дал расхождение, проанализируем, какая пара прямых дает ответ a3/2.

Это расстояние от центра куба до вершины. Или расстояние между двумя скрещивающимися диагоналями граней, которые лежат в параллельных плоскостях?

Нет, в условии четко сказано «диагональ куба и ребро».

В некоторых источниках ошибочно считают, что ближайшая точка на диагонали куба к ребру — это конец диагонали? Нет.

Если мы примем во внимание, что ключ может содержать ошибку для пункта а), но я должен дать обоснованное решение.

Однако, есть нюанс: если ребро и диагональ пересекаются в одной вершине, они не являются скрещивающимися. Скрещивающиеся — те, у которых нет общих точек.

Все ребра, не имеющие общих вершин с данной диагональю, эквивалентны. Мы нашли для них расстояние a2/2.

Почему в ключе a3/2?

Возможно, в задаче имелось в виду расстояние между диагональю куба и диагональю грани, которая не имеет общих точек с этой диагональю? Нет, это пункт б.

Или расстояние между двумя скрещивающимися диагоналями куба ? Их всего 4, они пересекаются в центре. Не скрещиваются.

Скорее всего, в ключе ошибка, либо в условии опечатка (например, «расстояние от центра куба до ребра» — это a2/2; «до вершины» — a3/2).

Но так как я учитель, я должен указать на математическую истину.

Тем не менее, часто в старых сборниках задач под «расстоянием между диагональю куба и ребром» могут подразумевать специфическую конфигурацию или использовать неверную логику (например, считать, что перпендикуляр опускается из конца диагонали).

Давайте еще раз проверим расчет для а).

Прямая 1: x=y=z. Прямая 2: x=a,y=0.

Общий перпендикуляр.

Точка на 1: M(t,t,t). Точка на 2: N(a,0,s).

Вектор MN=(a-t,-t,s-t).

Он должен быть перпендикулярен направляющему вектору 1 (1,1,1):

(a-t)-t+(s-t)=0⇒a+s-3t=0.

Он должен быть перпендикулярен направляющему вектору 2 (0,0,1):

s-t=0⇒s=t.

Подставляем s=t в первое уравнение: a+t-3t=0⇒a-2t=0⇒t=a/2.

Тогда s=a/2.

Координаты M(a/2,a/2,a/2) — это центр куба!

Координаты N(a,0,a/2) — середина ребра BB₁.

Расстояние MN=(a/2)²+(a/2)²+0=a²/4+a²/4=a²/2=a/2=a2/2.

Расчет абсолютно верен. Ответ a2/2.

Ключ a3/2 соответствует расстоянию от центра куба до вершины. Вероятно, автор задачи или составитель ответов перепутал понятия или имел в виду другую пару прямых (например, диагональ куба и диагональ грани, проходящей через противоположные вершины? Нет, это тоже другое).

Я напишу решение с правильным математическим выводом, но упомяну, что полученный результат отличается от типового ответа в некоторых справочниках из-за возможной ошибки в них, или просто дам верное решение. Согласно инструкции: «ключ ... ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой».

Итоговое оформление:

а) Расстояние равно a2/2.

б) Расстояние равно a6/6.