ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 190: Многогранный угол

План решения.

Для нахождения двугранного угла необходимо построить его линейный угол. Линейным углом двугранного угла называется угол между перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведёнными в каждой из граней из одной точки на ребре. В кубе все грани взаимно перпендикулярны или образуют углы 45^° с диагональными сечениями. Будем последовательно анализировать каждый пункт, определяя ребро и грани двугранного угла.

а) Двугранный угол ABB₁C.

Ребром данного двугранного угла является прямая BB₁. Одна грань проходит через точку A, то есть это грань куба ABB₁A₁. Вторая грань проходит через точку C, то есть это грань куба BCC₁B₁. Так как соседние грани куба взаимно перпендикулярны, то угол между ними равен 90^°. Проверим это формально: в плоскости грани ABB₁A₁ отрезок AB⊥BB₁, а в плоскости грани BCC₁B₁ отрезок BC⊥BB₁. Следовательно, (angleABC — линейный угол искомого двугранного угла. Поскольку ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, то (angleABC=90^°.

б) Двугранный угол ADD₁B.

Ребром этого двугранного угла является прямая DD₁. Первая грань содержит точку A, значит, это грань куба ADD₁A₁. Вторая грань содержит точку B. Точка B не лежит на грани ADD₁A₁, но она определяет плоскость BDD₁B₁ (диагональное сечение куба), проходящую через ребро DD₁. Таким образом, нам нужно найти угол между плоскостью грани ADD₁A₁ и плоскостью диагонального сечения BDD₁B₁.

Проведём перпендикуляры к ребру DD₁. В плоскости грани ADD₁A₁ таким перпендикуляром является отрезок AD (так как AD(perpDD₁). В плоскости диагонального сечения BDD₁B₁ перпендикуляром к DD₁ является отрезок BD (так как BD(perpDD₁, так как DD₁ перпендикулярна основанию ABCD). Значит, линейным углом является (angleADB.

Рассмотрим треугольник ADB в основании куба. Это прямоугольный равнобедренный треугольник ((angleDAB=90^°, AD=AB). Угол при вершине D, то есть (angleADB, равен 45^°. Следовательно, двугранный угол равен 45^°.

в) Двугранный угол A₁BB₁K.

Ребром двугранного угла является прямая BB₁. Первая грань проходит через точку A₁, это грань куба A₁B₁BA (или просто боковая грань). Вторая грань проходит через точку K. Точка K — середина ребра A₁D₁. Нам нужно рассмотреть плоскость, проходящую через ребро BB₁ и точку K. Так как BB₁(parallelAA₁, то эта плоскость параллельна прямой AA₁ и содержит точку K. Фактически, мы ищем угол между плоскостью грани ABB₁A₁ и плоскостью BB₁K.

Построим линейный угол. Проведем перпендикуляры к ребру BB₁. В плоскости грани ABB₁A₁ перпендикуляром является отрезок A₁B₁ (так как A₁B₁(perpBB₁). Теперь найдем перпендикуляр к BB₁ во второй грани. Пусть проекцией точки K на плоскость основания A₁B₁C₁D₁ будет сама точка K (так как K лежит в верхней грани). Однако удобнее работать с основанием ABCD или верхним основанием A₁B₁C₁D₁. Рассмотрим верхнее основание A₁B₁C₁D₁. Ребро BB₁ перпендикулярно этому основанию. Значит, любая прямая в этом основании, проходящая через проекцию точки на ребро, будет перпендикулярна ребру. Но нам нужен угол между гранями.

Давайте выберем точку B₁ на ребре BB₁. В первой грани (ABB₁A₁) перпендикуляром к BB₁ является луч B₁A₁. Во второй грани (BB₁K) нам нужно провести перпендикуляр к BB₁. Так как BB₁(perp плоскости A₁B₁C₁D₁, то любой отрезок в этой плоскости, исходящий из B₁, перпендикулярен BB₁. Следовательно, линейным углом является угол между лучом B₁A₁ и лучом B₁K в плоскости верхнего основания A₁B₁C₁D₁. То есть искомый угол (phi=(angleA₁B₁K.

Рассмотрим треугольник A₁B₁K в плоскости квадрата A₁B₁C₁D₁. Угол (angleB₁A₁K=90^° (угол квадрата). Пусть сторона куба равна a. Тогда A₁B₁=a. Точка K — середина A₁D₁, поэтому A₁K=a/2. Треугольник A₁B₁K прямоугольный с катетами A₁B₁=a и A₁K=a/2.

Нам нужно найти тангенс угла (phi=(angleA₁B₁K. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла при вершине B₁: противолежащий катет — A₁K, прилежащий катет — A₁B₁.

Отсюда (phi=(arctg(0.5). По таблицам или калькулятору (arctg(0.5)(approx26⁽circ34′.

Проверка и итог.

В пункте а) мы использовали свойство смежных граней куба (90^°). В пункте б) свели задачу к углу между стороной основания и диагональю основания (45^°). В пункте в) свели задачу к углу в прямоугольном треугольнике, образованном стороной и половиной стороны верхнего основания. Вычисления корректны.