ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 191: Многогранный угол

План решения:

Чтобы доказать перпендикулярность двух плоскостей, достаточно найти в одной из них прямую, которая была бы перпендикулярна другой плоскости. Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим во второй плоскости, то она перпендикулярна всей этой плоскости.

Вычисление и доказательства:

Рассмотрим куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Нам нужно доказать, что плоскость (ABC₁) перпендикулярна плоскости (A₁B₁D). 1. Заметим, что ребро куба AB параллельно ребру A₁B₁. Так как A₁B₁ лежит в плоскости (A₁B₁D), а AB не лежит в ней, то прямая AB параллельна плоскости (A₁B₁D). Это наблюдение полезно для понимания взаимного расположения, но для доказательства перпендикулярности нам нужна другая связь. 2. Рассмотрим диагональ грани BB₁C₁C, то есть отрезок BC₁. Также рассмотрим диагональ грани AA₁B₁B, то есть отрезок AB₁. В квадрате диагонали перпендикулярны, поэтому AB₁⊥BC₁? Нет, это верно для граней, но давайте выберем более удобную прямую. 3. Попробуем найти прямую в плоскости (ABC₁), перпендикулярную плоскости (A₁B₁D). Или наоборот. Давайте посмотрим на прямую BD₁ (большая диагональ куба). Она не лежит ни в одной из этих плоскостей напрямую так, чтобы упростить задачу. 4. Вернемся к классическому подходу. Докажем, что прямая A₁B перпендикулярна плоскости (ABC₁)? Нет, A₁B пересекает эту плоскость. 5. Рассмотрим прямую AD₁. Она лежит в плоскости (ADD₁A₁). Не подходит. 6. Давайте проверим перпендикулярность прямой A₁B и плоскости (ABC₁)? Нет. 7. Правильный путь: докажем, что прямая A₁B перпендикулярна плоскости (ABC₁)? Проверим углы. A₁B⊥AB₁ (диагонали квадрата ABB₁A₁). Но AB₁ не лежит в плоскости (ABC₁). В плоскости (ABC₁) лежат AB, BC₁, AC₁. 8. Попробуем другой векторный или геометрический подход через перпендикулярность линий. Рассмотрим прямую A₁D. Она лежит в плоскости (A₁B₁D). Рассмотрим прямую AB. Она лежит в плоскости (ABC₁). AB⊥A₁D? Да, так как AB⊥ плоскости (ADD₁A₁), а A₁D лежит в этой плоскости. Теперь найдем еще одну пару. Рассмотрим прямую BC₁. Она лежит в плоскости (ABC₁). Рассмотрим прямую B₁D. Она лежит в плоскости (A₁B₁D). Перпендикулярны ли они? Это скрещивающиеся прямые. Угол между ними можно найти, перенеся одну параллельным переносом. BC₁||AD₁. Угол между AD₁ и B₁D. Треугольник AB₁D равносторонний (все стороны - диагонали граней куба). AD₁ - диагональ грани. Это сложно. 9. Самый надежный способ: найти нормаль к одной плоскости и показать, что она лежит в другой, или перпендикулярна ей. Пусть ребро куба равно a. Введем систему координат: D(0;0;0), A(a;0;0), C(0;a;0), D₁(0;0;a). Тогда: B(a;a;0) A₁(a;0;a) B₁(a;a;a) C₁(0;a;a) Плоскость (ABC₁) проходит через точки: A(a;0;0), B(a;a;0), C₁(0;a;a). Векторы в этой плоскости: AB=(0;a;0) AC₁=(-a;a;a) Нормальный вектор n₁ к плоскости (ABC₁) равен векторному произведению AB×AC₁: n₁=ijk0a0-aaa=i(a²-0)-j(0-0)+k(0-(-a²))=(a²;0;a²) Можно сократить на a²: n₁=(1;0;1). Плоскость (A₁B₁D) проходит через точки: A₁(a;0;a), B₁(a;a;a), D(0;0;0). Векторы в этой плоскости: DA₁=(a;0;a) DB₁=(a;a;a) Нормальный вектор n₂ к плоскости (A₁B₁D) равен векторному произведению DA₁×DB₁: n₂=ijka0aaaa=i(0-a²)-j(a²-a²)+k(a²-0)=(-a²;0;a²) Можно сократить на a²: n₂=(-1;0;1). Два плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны. Вычислим скалярное произведение n₁·n₂: n₁·n₂=1·(-1)+0·0+1·1=-1+0+1=0 Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, следовательно, плоскости перпендикулярны.

Проверка и вывод:

Мы использовали метод координат, который является строгим и универсальным для задач стереометрии. Вычисления показали, что скалярное произведение нормальных векторов данных плоскостей равно нулю. Это означает, что угол между плоскостями составляет 90^°. Таким образом, утверждение доказано.