ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 195: Многогранный угол

План решения.

Обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: AB=a, AD=b, AA₁=c. Нам нужно найти эти три величины. Известно, что диагональ параллелепипеда AC₁=12 см. Также даны углы между другой пространственной диагональю BD₁ и элементами грани AA₁D₁D: угол с плоскостью этой грани равен 30^°, а угол с ребром DD₁ (которое лежит в этой же плоскости) равен 45^°.

Вычисления.

1. Рассмотрим треугольник BDD₁. Так как ребро BB₁ перпендикулярно основанию, то проекцией точки B на плоскость грани AA₁D₁D является точка D (так как BD⊥AD и BD⊥DD₁ не верно в общем случае, но давайте посмотрим внимательнее).
В прямоугольном параллелепипеде ребро AB перпендикулярно плоскости ADD₁A₁. Следовательно, отрезок BD не перпендикулярен плоскости ADD₁A₁.
Давайте определим проекцию диагонали BD₁ на плоскость AA₁D₁D. Точка D₁ уже лежит в этой плоскости. Точка B проектируется на эту плоскость в точку A? Нет. Плоскость AA₁D₁D содержит ребра AD и DD₁. Ребро AB перпендикулярно плоскости ADD₁A₁. Значит, проекцией точки B на плоскость AA₁D₁D является точка A.
Следовательно, проекцией диагонали BD₁ на плоскость AA₁D₁D является отрезок AD₁.
Угол между прямой BD₁ и её проекцией AD₁ равен 30^°. То есть ∠BD₁A=30^°.

2. Рассмотрим треугольник BAD₁. Он прямоугольный, так как BA⊥ плоскость ADD₁A₁, значит BA⊥AD₁.
Из условия угол с ребром DD₁ равен 45^°. Ребра DD₁ и AA₁ параллельны. Угол между скрещивающимися прямыми BD₁ и DD₁ равен углу между BD₁ и AA₁.
Рассмотрим треугольник ABA₁? Нет, лучше рассмотреть векторы или координаты.
Пусть D(0,0,0), A(b,0,0), C(a,b,0)... нет, стандартная система:
D(0,0,0), A(x,0,0), C(0,y,0), D₁(0,0,z). Тогда B(x,y,0).
Диагональ BD₁ соединяет (x,y,0) и (0,0,z). Вектор BD₁=(-x,-y,z).
Ребро DD₁ направлено по оси z. Вектор DD₁=(0,0,z).
Косинус угла между ними: cos45^°=|BD₁·DD₁|/|BD₁|·|DD₁|=z²/x²+y²+z²·z=z/x²+y²+z².
Знаменатель — это длина диагонали параллелепипеда d=AC₁=12.
Таким образом, z/12=cos45^°=2/2.
Отсюда высота c=z=12·2/2=62 см.

3. Теперь используем угол с плоскостью AA₁D₁D. Эта плоскость совпадает с плоскостью xz (если DA по x, DD₁ по z). Нормаль к ней — ось y (ребро DC или AB).
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией. Синус этого угла равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости.
Нормаль к плоскости AA₁D₁D — вектор n=(0,1,0) (ось y).
Вектор диагонали BD₁=(-x,-y,z).
sin30^°=|BD₁·n|/|BD₁|·|n|=|-y|/12·1=y/12.
Так как sin30^°=0.5, то y/12=0.5⇒y=6 см.
Здесь y — это измерение AD (или BC), то есть b=6 см.

4. Найдем третье измерение x (AB).
Длина диагонали d=x²+y²+z²=12.
Подставим известные значения: x²+6²+(62)²=12².
x²+36+72=144.
x²+108=144.
x²=36⇒x=6 см.
Итак, измерения равны 6 см, 6 см и 62 см.

Проверка.

Проверим данные условия для найденных размеров a=6,b=6,c=62.
Диагональ AC₁=6²+6²+(62)²=36+36+72=144=12 см. Верно.
Угол с ребром DD₁: cosα=c/d=62/12=2/2⇒α=45^°. Верно.
Угол с плоскостью AA₁D₁D: синус угла равен отношению расстояния от точки B до плоскости (это AB=a=6) к длине диагонали BD₁ (она равна AC₁=12). sinβ=6/12=0.5⇒β=30^°. Верно.