ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 200: Дополнительные задачи

План доказательства:

Для решения задачи воспользуемся определением описанной окружности и теоремой Пифагора. Нам нужно показать, что расстояние от произвольной точки на перпендикуляре до любой вершины многоугольника одинаково. Обозначим центр описанной окружности как O, а произвольную точку на прямой, проходящей через O перпендикулярно плоскости многоугольника, как M. Вершины многоугольника обозначим A_1,A_2,…,A_n.

Ход вычислений:

Так как окружность с центром в точке O является описанной около многоугольника, то все её радиусы равны. Следовательно, расстояния от центра O до всех вершин многоугольника одинаковы: OA₁=OA₂=…=OA_n=R, где R — радиус описанной окружности.

По условию прямая MO перпендикулярна плоскости многоугольника. Это означает, что отрезок MO перпендикулярен любому отрезку, лежащему в этой плоскости и исходящему из точки O. В частности, MO⊥OA_i для любой вершины A_i.

Рассмотрим прямоугольный треугольник △MOA_i. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы MA_i равен сумме квадратов катетов: MA2i=MO²+OA2i. Подставив значение радиуса OA_i=R, получаем: MA2i=MO²+R². Отсюда длина отрезка MA_i равна: MA_i=MO²+R².

Проверка и вывод:

В полученном выражении MA_i=MO²+R² величина MO (расстояние от точки M до плоскости) и R (радиус описанной окружности) являются постоянными числами, не зависящими от выбора конкретной вершины A_i. Таким образом, расстояние MA_i одинаково для всех i=1,2,…,n. Это доказывает, что любая точка M на указанной прямой равноудалена от всех вершин многоугольника.