ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 204: Дополнительные задачи
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Артём Савельев, методист по геометрии Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Дано: OM ⊥ плоскости правильного треугольника ABC, O — центр, OM=a, ∠MCO = φ. Найти
а) расстояния от M до вершин и сторон
б) радиус описанной окружности
в) площадь треугольника.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
В правильном треугольнике ABC точка O является центром описанной и вписанной окружностей. Отрезок OM перпендикулярен плоскости треугольника, поэтому треугольники MOC, MOA и MOB — прямоугольные с общим катетом OM=a. Расстояние от точки M до вершины C является гипотенузой треугольника MOC. Радиус описанной окружности R=OC можно найти из того же треугольника через угол β=угол MCO/2? Нет, в условии дано угол MCO=β. Значит, в прямоугольном △MOC: tanβ=OM/OC=a/R, откуда R=a/tanβ. Сторона правильного треугольника s связана с радиусом описанной окружности формулой s=R3. Площадь правильного треугольника вычисляется как S=s23/4 или через радиус: S=33/4R2. Расстояние от M до стороны (например, до BC) найдем, проведя перпендикуляр OK на сторону BC. Тогда MK будет искомым расстоянием по теореме о трех перпендикулярах. В △MOK катет OK — это радиус вписанной окружности r=R/2.
Вычисления.
а) Расстояния от M до вершин и сторон.
- До вершин (MA,MB,MC): Так как O — центр, то OA=OB=OC=R. Треугольник MOC прямоугольный (угол MOC=90o). По условию угол MCO=β. Тогда tanβ=OM/OC=a/R1R=a/tanβ. Гипотенуза MC=OM/sinβ=a/sinβ. Аналогично MA=MB=a/sinβ.
- До сторон (MK,MN,MP): Пусть K — середина стороны BC. OK1BC. Так как OM1 пл. ABC, то по теореме о трех перпендикулярах MK1BC. Длина OK равна радиусу вписанной окружности r. Для правильного треугольника r=R/2=a/2tanβ. В прямоугольном △MOK: MK=1OM2+OK2=1a2+1a2/4tan2β=a11+1/4tan2β=a14tan2β+1/4tan2β=a/2tanβ14tan2β+1.
б) Радиус описанной окружности.
Как было найдено выше, из △MOC: OC=OM/tanβ=a/tanβ.
в) Площадь треугольника.
Сторона правильного треугольника s=R3=a3/tanβ. Площадь SABC=s23/4=(a3/tanβ)23/4=3a2/tan2β3/4=33a2/4tan2β.
Проверка и анализ ответа.
Сравним полученные результаты с ключом учебника. Ключ для пункта а) указывает только одно значение a/sinβ, что соответствует расстоянию до вершин. Расстояние до сторон в ключе не приведено явно или объединено с другим пунктом, но геометрически оно отличается. Ключ для б) содержит выражение 21a/tgβ, что выглядит как опечатка или неверная интерпретация данных (возможно, путаница с диаметром или другой величиной), так как стандартное решение дает R=a/tgβ. Ключ для в) совпадает с нашим результатом 33a2/4tg2β. Учитывая, что задача требует найти расстояния до вершин И сторон, а ключ дает только одно число для пункта а), мы приводим оба значения. Для пункта б) математически корректный ответ R=a/tgβ.
а) до вершин: a/sinβ; до сторон: a/2tgβ4tg2β+1
б) a/tgβ
в) 33a2/4tg2β
В условии пункт а) требует найти расстояния до вершин и до сторон. Ключ учебника для пункта а) содержит только одно выражение a/sinβ, которое является расстоянием до вершин (гипотенуза MC). Расстояние до стороны (перпендикуляр MK) рассчитывается отдельно. В пункте б) ключ содержит странное выражение 2πa/tgβ, где π явно лишнее или является артефактом OCR/опечатки, а коэффициент 2 также вызывает сомнения при стандартной геометрии. Правильный радиус описанной окружности R=a/tgβ. Пункт в) в ключе совпадает с расчетным значением.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 204 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 204?
Краткий ответ: а) до вершин: a sin ; до сторон: a2 tg 4 tg^2 + 1; б) a tg ; в) 3√3a^24 tg^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные задачи.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.