ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 206: Дополнительные задачи

План решения:

• Определим геометрическую конфигурацию: треугольник ABC лежит в плоскости β, точка M находится вне этой плоскости так, что отрезок AMbotβ. Нам нужно найти расстояние от точки M до прямой, содержащей меньшую сторону треугольника.
• Выясним, какая сторона является меньшей и из какой вершины проведена перпендикулярная прямая. Меньшая сторона — это та, которая лежит напротив наименьшего угла. По условию, перпендикуляр AM проведен из вершины меньшего угла . Значит, нам нужно найти расстояние от точки M до стороны, противолежащей вершине A (так как если бы мы искали расстояние до сторон, прилегающих к A, то проекция совпала бы с самой точкой A, но обычно под "расстоянием до прямой, содержащей сторону" в таких задачах подразумевается наклонная к третьей стороне или использование теоремы о трех перпендикулярах для расстояния до противоположной стороны).
• Применим теорему о трех перпендикулярах. Пусть AD — высота треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC. Тогда проекцией наклонной MD на плоскость треугольника является отрезок AD. Если ADbotBC, то по теореме о трех перпендикулярах MDbotBC. Следовательно, длина отрезка MD и есть искомое расстояние от точки M до прямой BC.

Вычисление:

1. Найдем площадь треугольника ABC со сторонами a=17, b=15, c=8. Используем формулу Герона. Полупериметр p=17+15+8/2=40/2=20 см. S_ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)=20(20-17)(20-15)(20-8)=20·3·5·12 S_ABC=60·60=60 см²
2. Определим, какая сторона является меньшей и где находится вершина меньшего угла. В треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны. Наименьшая сторона равна 8 см. Значит, наименьший угол находится против стороны длиной 8 см. Обозначим стороны: пусть BC=17, AC=15, AB=8. Тогда наименьший угол — это угол C (против стороны AB=8)? Нет, давайте проверим косинусами или просто логикой. Угол против стороны 8 — самый маленький. Пусть этот угол будет β. Вершина этого угла — B (если сторона AC=8) или C (если сторона AB=8). В условии сказано: "проведена из вершины меньшего угла". Пусть вершина меньшего угла — это A. Тогда сторона, лежащая против угла A, должна быть наименьшей? Нет, угол A лежит против стороны BC. Если угол A — меньший, то сторона BC — наименьшая. Но в задаче говорится: "до прямой, содержащей меньшую сторону". Это может означать, что мы ищем расстояние до стороны, которая сама по себе имеет минимальную длину среди всех трех. Или же это уточнение того, к какой именно стороне провести перпендикуляр. Давайте разберемся строго. Стороны: 17, 15, 8. Наименьшая сторона — 8 см. Она лежит против наименьшего угла. Пусть наименьший угол — это β. Тогда сторона, противолежащая ему, равна 8. Перпендикуляр AM проведен из вершины меньшего угла. То есть A — это вершина наименьшего угла. Значит, сторона, противолежащая A (то есть BC), не обязательно является наименьшей стороной треугольника. Наоборот, наименьшая сторона треугольника лежит против угла A. Пусть эта наименьшая сторона называется a′. Тогда a′=8. А другие стороны b′ и c′ равны 15 и 17. Итак, у нас есть треугольник ABC, где угол A — наименьший. Сторона BC лежит против угла A, значит BC=8 см. Другие стороны AB=15 см, AC=17 см (или наоборот, порядок не важен для площади). Нам нужно найти расстояние от точки M до прямой, содержащей меньшую сторону . Мы уже установили, что меньшая сторона — это BC (так как она лежит против наименьшего угла A). Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка MD, где D — основание перпендикуляра из M на прямую BC. По теореме о трех перпендикулярах: так как MAbot(ABC), то проекцией наклонной MD на плоскость является отрезок AD. Чтобы MDbotBC, необходимо и достаточно, чтобы ADbotBC. Значит, AD — это высота треугольника ABC, опущенная из вершины A на сторону BC. Таким образом, план такой: 1. Найти высоту AD треугольника ABC, опущенную на сторону BC (которая равна 8 см). 2. Найти наклонную MD из прямоугольного треугольника MAD (∠MAD=90 exto).
3. Вычислим высоту AD. Площадь треугольника ABC мы нашли ранее: S=60 см². Основание BC=8 см. S=1/2·BC·AD⇒60=1/2·8·AD⇒60=4·AD⇒AD=15 см
4. Рассмотрим треугольник MAD. Так как AMbot(ABC), то AMbotAD. Треугольник MAD — прямоугольный с катетами AM=20 см и AD=15 см. Гипотенуза MD является искомым расстоянием. MD=AM²+AD²=20²+15²=400+225=625=25 см

Проверка:

Логика задачи построена на идентификации "меньшей стороны" и "вершины меньшего угла". В любом треугольнике наименьшая сторона лежит против наименьшего угла. Если перпендикуляр опущен из вершины наименьшего угла (A), то он направлен к плоскости. Расстояние до прямой, содержащей наименьшую сторону (BC), требует проведения высоты из A на BC. Вычисления площади через формулу Герона дали целое число (60), что характерно для учебных задач. Высота AD=15 получилась целым числом. Пифагорова тройка (15,20,25) подтверждает правильность арифметических действий. Ответ совпадает с ориентиром.