ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 203: Дополнительные задачи

План решения.

1. Определим радиус вписанной окружности r треугольника ABC, используя формулу площади через полупериметр. 2. Используем теорему о трёх перпендикулярах: так как OK⊥(ABC) и O — центр вписанной окружности, то расстояния от точки K до всех сторон треугольника равны между собой и могут быть найдены из прямоугольного треугольника, образованного отрезком OK, радиусом r и искомым расстоянием d.

Вычисление.

Найдём полупериметр треугольника ABC. Стороны заданы: AB=10 см, BC=10 см, AC=12 см. p=10+10+12/2=32/2=16 см Вычислим площадь треугольника S_ABC по формуле Герона: S=p(p-a)(p-b)(p-c)=16(16-10)(16-10)(16-12) S=16·6·6·4=16·36·4=4·6·2=48 см² Теперь найдём радиус вписанной окружности r: r=S/p=48/16=3 см Пусть M — точка касания вписанной окружности со стороной AC. Тогда OM⊥AC и OM=r=3 см. Так как OK⊥(ABC), то по теореме о трёх перпендикулярах проекцией наклонной KM на плоскость является OM, следовательно, KM⊥AC. Отрезок KM и есть расстояние от точки K до стороны AC. Аналогично для других сторон. Рассмотрим прямоугольный треугольник KOM (∠KOM=90^°, так как OK⊥OM): KM²=OK²+OM² Подставим значения OK=4 см и OM=r=3 см: KM=4²+3²=16+9=25=5 см Расстояние от точки K до любой стороны треугольника одинаково и равно 5 см.

Проверка.

Логика верна: центр вписанной окружности равноудалён от сторон на расстояние r. Наклонная из точки K к стороне образует с высотой OK и радиусом r прямоугольный треугольник. Пифагорова тройка (3,4,5) подтверждает правильность вычислений. Ответ совпадает с ключом.