ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 207: Дополнительные задачи

План решения.

Так как точка M равноудалена от всех сторон треугольника ABC, то её проекция на плоскость треугольника является центром вписанной окружности этого треугольника. Обозначим проекцию точки M на плоскость как точку O. Тогда расстояние от O до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности r. Расстояние от точки M до плоскости — это длина перпендикуляра MO=h. Нам известно расстояние от M до сторон (наклонных), которое обозначим l=82/3 см. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой h, радиусом r и наклонной l, имеем связь: h²+r²=l². Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса вписанной окружности r треугольника ABC.

Вычисление.

1. Найдем площадь треугольника ABC. Треугольник равнобедренный (AB=BC=13 см, AC=10 см). Проведем высоту BK к основанию AC. Так как треугольник равнобедренный, высота является медианой, поэтому AK=KC=10/2=5 см. По теореме Пифагора найдем высоту BK: BK=AB²-AK²=13²-5²=169-25=144=12 см . Площадь треугольника: S_ABC=1/2·AC·BK=1/2·10·12=60 см² .

2. Найдем полупериметр p треугольника ABC: p=AB+BC+AC/2=13+13+10/2=36/2=18 см .

3. Вычислим радиус вписанной окружности r по формуле S=p·r: r=S_ABC/p=60/18=10/3=31/3 см .

4. Теперь найдем искомое расстояние h от точки M до плоскости. Дано, что наклонная l=82/3=26/3 см. Используем теорему Пифагора: h=l²-r²=(26/3)²-(10/3)². Вынесем знаменатель за скобки под корнем: h=26²-10²/3²=1/3676-100=1/3576. Так как 576=24, получаем: h=24/3=8 см .

Проверка.

Проверим логику: если проекция лежит внутри треугольника, а расстояния до сторон равны, то это действительно центр вписанной окружности. Радиус r=10/3 см корректно вычислен через площадь и полупериметр. Наклонная 26/3 см больше радиуса, что позволяет извлечь корень. Результат 8 см совпадает с ожидаемым ответом. Единицы измерения соблюдены.