ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 209: Дополнительные задачи

План решения.

Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Пусть H_B и H_C — проекции точек B и C на плоскость β. Тогда отрезки BH_B и CH_C являются искомыми расстояниями. Углы между наклонными AB, AC и их проекциями AH_B, AH_C равны углам наклона этих отрезков к плоскости, то есть BAH_B=40^o и CAH_C=50^o.

Вычисление.

Рассмотрим прямоугольные треугольники △ABH_B и △ACH_C (прямые углы при вершинах H_B и H_C). В △ABH_B: BH_B=ABsin(40^o) В △ACH_C: CH_C=ACsin(50^o) По условию задачи AB=AC. Обозначим эту длину через l. Тогда: BH_B=lsin(40^o) CH_C=lsin(50^o) Так как функция синуса возрастает на промежутке от 0^o до 90^o, а 40^o<50^o, то sin(40^o)<sin(50^o). Следовательно, lsin(40^o)<lsin(50^o), то есть BH_B<CH_C.

Проверка и вывод.

Логика подтверждается геометрическим смыслом: чем больше угол наклона отрезка к плоскости (при фиксированной длине самого отрезка), тем дальше его конец находится от плоскости. Поскольку угол для отрезка AC (50^o) больше угла для отрезка AB (40^o), точка C расположена дальше от плоскости, чем точка B. Ответ совпадает с ориентиром.