ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 212: Дополнительные задачи
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия — Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Надежда Фомина, редактор геометрических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Точка C является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Доказать, что площадь треугольника ABD равна S / cos α, где S — площадь треугольника ABC, а α — угол между плоскостями ABC и ABD.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства связи между площадями треугольников ABC и ABD воспользуемся определением площади проекции плоской фигуры на другую плоскость. Нам дано, что точка C является проекцией точки D на плоскость треугольника ABC. Это означает, что отрезок DC перпендикулярен плоскости ABC. Треугольник ABC можно рассматривать как ортогональную проекцию треугольника ABD на плоскость ABC, так как вершина A совпадает с проекцией себя самой, вершина B совпадает с проекцией себя самой, а вершина D проектируется в точку C.
Вычисление и доказательство.
Известно свойство ортогональной проекции: площадь проекции плоского многоугольника равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Обозначим:
- SABC — площадь треугольника ABC (по условию это S);
- SABD — площадь треугольника ABD;
- α — угол между плоскостями ABC и ABD.
Согласно теореме о площади проекции, справедливо равенство:
SABC=SABD·cosαПодставив известное значение SABC=S, получаем уравнение:
S=SABD·cosαТак как угол α между плоскостями лежит в диапазоне [0;π/2), то cosα>0. Выразим искомую площадь SABD:
SABD=S/cosαПроверка и вывод.
Рассмотрим предельные случаи для проверки логики. Если угол α стремится к нулю, то плоскости совпадают, проекция не искажает фигуру, и cos0=1, откуда SABD=S, что верно. Если угол α увеличивается, то проекция «сжимается», поэтому исходная площадь должна быть больше площади проекции, что согласуется с делением на число меньше единицы (cosα<1). Таким образом, формула SABD=S/cosα корректна и доказана.
Доказано: SABD=S/cosα
Задача решается через применение теоремы о площади ортогональной проекции. Ключевой момент — понимание того, что треугольник ABC является проекцией треугольника ABD.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 212 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 212?
Краткий ответ: Доказано: S_ABD = S.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия», Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Дополнительные задачи.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.