ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 208: Дополнительные задачи

План решения.

Для нахождения длины отрезка LM необходимо определить длины наклонных KL и KM, а также угол между ними. Так как точка K удалена от плоскости β на расстояние KO=9 см (где O — проекция точки K на плоскость), то треугольники KOL и KOM являются прямоугольными с общим катетом KO. Углы наклона наклонных к плоскости равны углам KLO и KMO. Зная эти углы (45^o и 30^o) и высоту KO, можно выразить гипотенузы KL и KM. Далее, поскольку по условию наклонные образуют прямой угол (LKM=90^o), треугольник LKM является прямоугольным. По теореме Пифагора найдем катет LM через гипотенузу? Нет, LM — это гипотенуза в треугольнике LKM, если угол при вершине K прямой. Проверим: угол между наклонными KL и KM равен 90^o, значит, в треугольнике LKM угол LKM=90^o, а сторона LM лежит напротив этого угла, то есть является гипотенузой.

Вычисления.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник KOL (KOL=90^o).

Угол наклона наклонной KL к плоскости равен KLO=45^o. Катет KO=9 см.

Из определения синуса угла: sinKLO=KO/KL KL=KO/sin45^o=9/sqrt(2)/2=18/sqrt(2)=9sqrt(2) см.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник KOM (KOM=90^o).

Угол наклона наклонной KM к плоскости равен KMO=30^o. Катет KO=9 см.

Аналогично: sinKMO=KO/KM KM=KO/sin30^o=9/1/2=18 см .

3. Рассмотрим треугольник LKM.

По условию задачи наклонные KL и KM образуют прямой угол, то есть LKM=90^o. Следовательно, треугольник LKM — прямоугольный с катетами KL и KM и гипотенузой LM.

Применим теорему Пифагора: LM²=KL²+KM² LM²=(9sqrt(2))²+18² LM²=81×2+324 LM²=162+324=486 LM=sqrt(486)=sqrt(81×6)=9sqrt(6) см.

Проверка.

Длины наклонных найдены верно через тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и проекциями. Вычисление квадратов длин не содержит ошибок: (9sqrt(2))²=162, 18²=324. Сумма 162+324=486. Извлечение корня из 486 дает 9sqrt(6), так как 81×6=486. Ответ совпадает с ключевым значением.