ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 210: Дополнительные задачи

План решения.

Для доказательства равноудалённости точки от граней двугранных углов необходимо использовать определение расстояния от точки до плоскости и свойства линейного угла двугранного угла. Пусть M — произвольная точка грани ABP. Нам нужно доказать, что расстояние от M до плоскости ABH равно расстоянию от M до плоскости ABQ. Для этого проведём перпендикуляры из точки M к этим плоскостям и рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные этими перпендикулярами и проекциями на ребро AB.

Вычисление и доказательство.

1. Проведём в грани ABP перпендикуляр MK к ребру AB, где K — основание перпендикуляра на AB. Так как MK⊥AB и MK лежит в грани ABP, то угол между MK и любой прямой в другой грани, проходящей через K и перпендикулярной AB, является линейным углом соответствующего двугранного угла.

2. Опустим перпендикуляр MH из точки M на плоскость грани ABH. Тогда MH — это расстояние от точки M до плоскости ABH. По теореме о трёх перпендикулярах, так как MH⊥(ABH) и MK⊥AB, то проекция HK также перпендикулярна AB (HK⊥AB). Следовательно, △MHK — прямоугольный с прямым углом при вершине H.

3. Аналогично опустим перпендикуляр MQ из точки M на плоскость грани ABQ. Тогда MQ — расстояние от M до плоскости ABQ. По той же теореме о трёх перпендикулярах, проекция QK перпендикулярна AB (QK⊥AB), и △MQK — прямоугольный с прямым углом при вершине Q.

4. Рассмотрим линейные углы данных двугранных углов. Линейный угол двугранного угла H-AB-P равен углу ρ(HK,MK)=ρ(HK,MP_proj). Поскольку MK⊥AB и HK⊥AB, то угол ρ(HK,MK) является линейным углом двугранного угла H-AB-P. Обозначим его β₁.

5. Линейный угол двугранного угла Q-AB-P равен углу ρ(QK,MK). Поскольку MK⊥AB и QK⊥AB, то угол ρ(QK,MK) является линейным углом двугранного угла Q-AB-P. Обозначим его β₂.

6. По условию задачи величины двугранных углов равны, значит, их линейные углы равны: β₁=β₂. То есть ρ(HK,MK)=ρ(QK,MK).

7. В прямоугольном треугольнике MHK: MH=MK·sin(β₁). В прямоугольном треугольнике MQK: MQ=MK·sin(β₂).

8. Так как β₁=β₂, то eta₁=eta₂, следовательно, MK·sin(β₁)=MK·sin(β₂), откуда получаем MH=MQ.

Проверка и вывод.

Мы показали, что для произвольной точки M грани ABP расстояния до граней ABH и ABQ выражаются через одну и ту же длину отрезка MK (перпендикуляр к ребру внутри грани ABP) и синусы равных линейных углов. Равенство MH=MQ подтверждает утверждение задачи. Таким образом, любая точка грани ABP действительно равноудалена от граней ABH и ABQ.