ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 213: Дополнительные задачи

План решения.

Угол между плоскостями двух треугольников ABC и DBC, имеющих общее основание BC, равен линейному углу двугранного угла при ребре BC. Для его нахождения нужно провести в каждой из плоскостей перпендикуляры к общему ребру BC из одной точки на этом ребре. Так как треугольники правильные, эти перпендикуляры будут медианами (и высотами), проведёнными к стороне BC. Пусть M — середина стороны BC. Тогда угол β=
angleAMD является искомым углом между плоскостями.

Вычисление.

Обозначим сторону правильного треугольника через a. В правильном треугольнике высота равна h=a3/2. Медиана AM лежит в плоскости ABC и является высотой этого треугольника, то есть AM=a3/2.

По условию вершина D проектируется в центр треугольника ABC. Центр правильного треугольника совпадает с центром тяжести и лежит на медиане AM, деля её в отношении 2:1, считая от вершины A. Следовательно, расстояние от центра O до середины стороны M равно:

Так как DO — перпендикуляр к плоскости ABC, то треугольник DOM прямоугольный (∠DOM=90^°). Нам нужно найти угол β=∠DMO (так как DM — проекция наклонной DB? Нет, DM лежит в плоскости DBC. Угол между плоскостями — это угол между прямыми AM и DM, так как обе они перпендикулярны BC).

Рассмотрим прямоугольный треугольник DOM. Гипотенуза DM является медианой правильного треугольника DBC, поэтому DM=a3/2.

Косинус угла β между плоскостями можно найти из прямоугольного треугольника DOM как отношение прилежащего катета OM к гипотенузе DM:

Таким образом, cosβ=1/3.

Проверка и ответ.

Найдём величину угла. Если cosβ=1/3, то β=arccos(1/3). Это значение соответствует примерно 70^°33′. Логика решения опирается на свойства центра правильного треугольника и определение линейного угла двугранного угла, что не противоречит геометрическим фактам. Ответ согласуется с ориентировочным ключом.