ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 215: Дополнительные задачи

План решения.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми AB и CD, лежащими в гранях двугранного угла, можно найти, сведя задачу к треугольнику. Для этого выберем на ребре двугранного угла точку O так, чтобы проекции точек A и D на ребро совпали (или просто спроектируем отрезки OA и OD на плоскость, перпендикулярную ребру). Поскольку прямые параллельны ребру (так как они лежат в гранях и параллельны друг другу, а обычно в таких задачах подразумевается, что они параллельны ребру или мы рассматриваем сечение), давайте уточним геометрию. Если AB∥CD, то они обе параллельны ребру двугранного угла. Пусть M — проекция точки A на ребро, N — проекция точки D на ребро. Тогда AM⊥ ребру, DN⊥ ребру. Расстояния от точек до ребра: AM=8 см, DN=6,5 см. Угол между AM и DN равен линейному углу двугранного угла, то есть 60^°. Так как прямые AB и CD параллельны ребру, расстояние между ними равно расстоянию между точками A и D в плоскости, перпендикулярной ребру, если их проекции на ребро совпадают. Однако условие не говорит о том, где именно находятся точки относительно друг друга вдоль ребра. Но стандартная постановка задачи «параллельные прямые... лежат в разных гранях» подразумевает, что мы ищем кратчайшее расстояние, которое достигается на общем перпендикуляре. Если прямые параллельны ребру, то общее перпендикулярное сечение содержит отрезки AM и DN. В этом сечении расстояние между прямыми равно длине отрезка AD′, где D′ — точка, полученная параллельным переносом D до уровня A вдоль ребра? Нет. Прямые параллельны ребру. Значит, вектор направления прямых коллинеарен ребру. Кратчайшее расстояние между параллельными прямыми — это длина перпендикуляра к ним. Этот перпендикуляр лежит в плоскости, перпендикулярной ребру. Таким образом, задача сводится к нахождению расстояния между концами двух отрезков AM и DN, исходящих из одной точки ребра (так как мы можем выбрать любую пару точек, дающую минимальное расстояние, и за счет параллельности сдвигаем их по ребру до совпадения проекций) под углом 60^°. То есть нам нужно найти третью сторону треугольника со сторонами 8 и 6,5 и углом между ними 60^°.

Вычисление.

Рассмотрим треугольник AOD, где O — точка на ребре, такая что AO⊥ ребру и DO⊥ ребру. Тогда AO=8 см, DO=6,5 см, а угол angleAOD=60^° (линейный угол двугранного угла). Искомое расстояние d между прямыми AB и CD равно длине стороны AD этого треугольника.

Применим теорему косинусов:

Подставим числовые значения:

Переведем десятичную дробь в обыкновенную для удобства извлечения корня:

Тогда:

Проверка.

Число 217 раскладывается на простые множители: 217=7·31. Ни один из множителей не является полным квадратом, поэтому упростить выражение 217/2 дальше нельзя. Результат соответствует ключу ответа. Логика решения верна: при параллельных прямых, лежащих в гранях двугранного угла и параллельных его ребру, расстояние между ними определяется треугольником, образованным перпендикулярами к ребру и линейным углом.