ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 219: Геометрическое тело

План решения.

В прямоугольном параллелепипеде боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Следовательно, проекцией диагонали параллелепипеда на плоскость основания является диагональ самого основания. Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания — это угол между диагональю параллелепипеда и её проекцией (диагональю основания). Нам дано, что этот угол равен 45^°. Зная стороны основания, мы можем найти длину диагонали основания, а затем, используя свойства прямоугольного треугольника, образованного диагональю параллелепипеда, диагональю основания и боковым ребром, вычислить искомую высоту.

Вычисление.

1. Рассмотрим основание параллелепипеда. Это прямоугольник со сторонами a=12 см и b=5 см. По теореме Пифагора найдём диагональ основания d_осн:

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют: диагональ параллелепипеда (D), диагональ основания (d_осн) и боковое ребро (h). Боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому оно является катетом этого треугольника, а диагональ основания — вторым катетом. Гипотенузой является диагональ параллелепипеда.

По условию угол между гипотенузой (D) и катетом (d_осн) равен 45^°. В прямоугольном треугольнике с острым углом 45^° второй острый угол также равен 90^°-45^°=45^°. Это означает, что треугольник равнобедренный, и его катеты равны между собой.

Следовательно, длина бокового ребра h равна длине диагонали основания:

Проверка.

Если боковое ребро равно 13 см, то тангенс угла наклона диагонали к основанию равен отношению противолежащего катета (высоты) к прилежащему катету (диагонали основания): tan(α)=h/d_осн =13/13=1. Арктангенс единицы равен 45^°, что совпадает с условием задачи. Ответ верен.