ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 217: Дополнительные задачи

Для решения задачи обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через a, b и c. По условию они пропорциональны числам 3, 7 и 8. Введём коэффициент пропорциональности k, тогда можно записать: a=3k, b=7k, c=8k.

Сумма площадей трёх граней, имеющих общую вершину, равна произведению попарных сумм длин рёбер. Запишем это выражение:

S_сум =ab+bc+ac=404

Подставим выражения для рёбер через k:

(3k·7k)+(7k·8k)+(3k·8k)=404

Вычислим каждое слагаемое:

21k²+56k²+24k²=404

Сложим коэффициенты при k²:

(21+56+24)k²=101k²

Получаем уравнение:

101k²=404

Найдём k²:

k²=404/101=4

Отсюда следует, что k=2 (так как длина ребра должна быть положительной).

Теперь найдём длины самих рёбер:

a=3·2=6 дм

b=7·2=14 дм

c=8·2=16 дм

Диагональ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

d=a²+b²+c²

Подставим найденные значения:

d=6²+14²+16²=36+196+256

Суммируем числа под корнем:

36+196=232

232+256=488

Таким образом, диагональ равна 488. Упростим этот радикал. Разложим число 488 на множители:

488=4·122

Тогда:

d=4·122=4·122=2122 дм