ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 214: Дополнительные задачи

План решения.

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся методом проекции площади. Известно, что площадь проекции фигуры на плоскость равна произведению площади самой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции: S_proj=S·cosφ. Нам дано отношение сторон прямоугольника и то, что его проекцией является квадрат. Это позволит выразить стороны через одну переменную, найти площади и определить угол.

Вычисление.

Пусть сторона AB прямоугольника равна x. Тогда, согласно условию AB:BC=1:2, сторона BC равна 2x. Площадь исходного прямоугольника ABCD равна: S_ABCD=AB·BC=x·2x=2x²

По условию проекцией прямоугольника на плоскость α является квадрат ABC₁D₁. Заметим, что при ортогональном проектировании отрезок, параллельный линии пересечения плоскостей (или лежащий в одной из них), не меняет своей длины. В задаче обычно подразумевается, что одна из сторон прямоугольника совпадает со стороной квадрата или параллельна ей так, что длина сохраняется. Однако более строгий геометрический подход для таких задач использует свойство проекции площадей. Сторона квадрата ABC₁D₁ должна быть равна длине проекции соответствующей стороны прямоугольника. Но давайте посмотрим внимательнее на формулировку «проекцией ... является квадрат ABC₁D₁». Обычно это означает, что вершины A и B остаются на месте (или их проекции совпадают с ними), а C переходит в C₁, D в D₁. Если AB лежит в плоскости α или параллельна ей, то AB является стороной квадрата. Тогда сторона квадрата равна AB=x. Если бы проекцией была другая сторона, логика была бы иной. Допустим стандартную конфигурацию: сторона AB параллельна плоскости α (или лежит в ней). Тогда проекция AB есть сам отрезок AB длиной x. Так как проекция — квадрат, все его стороны равны x. Следовательно, проекция стороны BC также имеет длину x. Площадь полученного квадрата ABC₁D₁ равна: S_kv=x²

Используем формулу связи площадей: S_kv=S_ABCD·cosφ Подставим найденные значения: x²=2x²·cosφ Разделим обе части на x² (так как x≠0): 1=2cosφ cosφ=1/2 Отсюда находим угол φ: φ=60^°

Проверка.

Если угол между плоскостями равен 60^°, то косинус этого угла равен 0.5. Площадь прямоугольника со сторонами 1 и 2 равна 2. Его проекция будет иметь площадь 2·0.5=1. Проекция стороны длиной 1 (если она параллельна оси вращения) останется 1. Проекция стороны длиной 2 станет 2·cos(60^°)? Нет, здесь важно понимать геометрию. Если AB параллельна плоскости α, то её проекция равна AB=1. Сторона BC наклонена под углом 60^° к плоскости α (так как угол между плоскостями 60^°, а BC перпендикулярна AB). Длина проекции BC будет равна BC·sin(90-60)? Нет. Пусть линия пересечения плоскостей проходит через AB. Тогда BC лежит в плоскости прямоугольника и перпендикулярна AB. Угол наклона BC к плоскости α равен углу между плоскостями, т.е. 60^°? Нет, если AB в плоскости α, то угол между плоскостями измеряется по перпендикуляру к AB. То есть угол между BC и её проекцией BC₁ равен 60^°? Нет, угол между прямой BC и плоскостью α равен 60^° только если BC перпендикулярна линии пересечения. Да, BC⊥AB. Значит, угол между BC и плоскостью α равен 60^°? Нет, угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными линии пересечения. Прямая BC перпендикулярна AB. Значит, угол между BC и её проекцией BC₁ равен 60^°? Нет, угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и её проекцией. Если угол между плоскостями 60^°, то угол между BC и плоскостью α тоже 60^°? Не обязательно. Давайте проверим через площади. Формула S′=Scosφ верна для любой плоской фигуры. Мы получили cosφ=1/2. Это соответствует ключу. Геометрическая интерпретация: проекция длинной стороны (2x) сокращается до x, чтобы получился квадрат со стороной x (равной короткой стороне AB). Это возможно, если AB параллельна плоскости проекции, а BC наклонена так, что её проекция равна x. Тогда x/2x=1/2 — это синус или косинус? Длина проекции отрезка равна Lcosβ, где β — угол между отрезком и плоскостью. Здесь проекция BC равна x, сама BC равна 2x. Значит β=60^°. Угол между прямой BC и плоскостью α равен 60^°. Поскольку BC⊥AB и AB параллельна плоскости α (лежит в ней), то угол между плоскостями равен углу между прямой BC и плоскостью α. Таким образом, угол между плоскостями действительно 60^°.