ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 218: Геометрическое тело

План решения.

Для доказательства утверждений воспользуемся определениями прямой и правильной призмы. Вспомним свойства параллельных плоскостей и перпендикулярности прямых к плоскости. Нам нужно показать форму боковых граней, опираясь на то, как боковые ребра расположены относительно оснований.

Вычисление и доказательство.

а) Докажем, что у прямой призмы все боковые грани являются прямоугольниками.

По определению, в прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Пусть AA₁ — боковое ребро, а ABC... и A₁B₁C_1... — основания. Тогда AA₁⊥(ABC) и AA₁⊥(A₁B₁C₁). Рассмотрим произвольную боковую грань, например, ABB₁A₁. Так как призма является многогранником, её основания лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра параллельны друг другу (AA₁∥BB₁), так как они перпендикулярны одной и той же плоскости. Следовательно, четырёхугольник ABB₁A₁ является параллелограммом (противоположные стороны равны и параллельны). Так как AA₁⊥(ABC), то по определению перпендикулярности прямой и плоскости, AA₁ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. Значит, AA₁⊥AB. Угол ∠A₁AB=90^°. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником. Таким образом, грань ABB₁A₁ — прямоугольник. Аналогично доказывается для всех остальных боковых граней.

б) Докажем, что у правильной призмы все боковые грани являются равными прямоугольниками.

По определению, правильная призма — это прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник. Из пункта а) мы уже знаем, что у прямой призмы все боковые грани — прямоугольники. Осталось доказать их равенство. Пусть основание призмы — правильный n-угольник со стороной a. Тогда все стороны основания равны: AB=BC=...=a. Боковые рёбра прямой призмы равны между собой и обозначим их длину через h (AA₁=BB₁=...=h). Рассмотрим две соседние боковые грани, например, ABB₁A₁ и BCC₁B₁. Грань ABB₁A₁ — прямоугольник со сторонами AB=a и AA₁=h. Грань BCC₁B₁ — прямоугольник со сторонами BC=a и BB₁=h. Прямоугольники с одинаковыми соответствующими сторонами равны. Поскольку все стороны основания равны (a) и все боковые рёбра равны (h), то все боковые грани представляют собой равные прямоугольники с размерами a×h.

Проверка.

Логика построена верно: сначала использовано определение прямой призмы (перпендикулярность ребра к основанию) для получения прямоугольной формы граней. Затем добавлено условие правильности основания (равенство сторон) для доказательства равенства этих прямоугольников. Противоречий с аксиомами стереометрии нет.