ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 216: Дополнительные задачи

План решения.

Для нахождения длины отрезка CD воспользуемся векторным методом или теоремой косинусов для пространственного четырёхугольника. Введём систему координат или разложим вектор CD на сумму векторов CA+AB+BD. Нам известно, что AC⊥AB, BD⊥AB, а угол между гранями (и, соответственно, между перпендикулярами к ребру) равен 120^°. Длины всех трёх слагаемых векторов равны a.

Вычисление.

Рассмотрим векторное равенство: CD=CA+AB+BD Возведём обе части в квадрат (скалярный квадрат вектора): |CD|²=(CA+AB+BD)² Раскроем скобки по формуле квадрата суммы трёх векторов: CD²=CA²+AB²+BD²+2(CA·AB)+2(AB·BD)+2(CA·BD) Проанализируем каждое слагаемое: 1. Модули векторов: |CA|=a, |AB|=a, |BD|=a. Тогда CA²=a², AB²=a², BD²=a². 2. Скалярные произведения с вектором ребра AB: Так как AC⊥AB, то угол между CA и AB равен 90^°, следовательно, CA·AB=0. Так как BD⊥AB, то угол между AB и BD равен 90^°, следовательно, AB·BD=0. 3. Скалярное произведение CA·BD: Отрезки AC и BD лежат в разных гранях двугранного угла и перпендикулярны его ребру. Угол между этими отрезками равен линейному углу двугранного угла, то есть 120^°. Однако нужно быть внимательным с направлением векторов. Вектор CA направлен от C к A, а вектор BD — от B к D. Если мы представим себе плоскость, перпендикулярную ребру, то векторы AC и BD образуют угол 120^°. Вектор CA=-AC. Таким образом, угол между векторами CA и BD равен 180^°-120^°=60^°? Нет, давайте проверим через проекции или более простой геометрический подход, чтобы не запутаться в знаках.

Давайте используем метод координат для точности. Пусть ребро двугранного угла совпадает с осью Oz. Точка A имеет координаты (0,0,0), точка B — (0,0,a). Грань 1 лежит в плоскости XZ (например). Тогда отрезок AC перпендикулярен ребру и лежит в этой грани. Пусть C имеет координаты (a,0,0). Грань 2 составляет угол 120^° с первой гранью. Отрезок BD перпендикулярен ребру и лежит во второй грани. Проекция BD на плоскость XY будет иметь длину a и составлять угол 120^° с осью OX (направлением AC). Координаты точки D: x_D=acos(120^°)=-a/2, y_D=asin(120^°)=a3/2, z_D=z_B=a. Итак, имеем точки: C(a,0,0) D(-a/2,a3/2,a) Найдём расстояние CD: CD²=(x_D-x_C)²+(y_D-y_C)²+(z_D-z_C)² CD²=(-a/2-a)²+(a3/2-0)²+(a-0)² CD²=(-3a/2)²+(a3/2)²+a² CD²=9a²/4+3a²/4+a² CD²=12a²/4+a²=3a²+a²=4a² CD=4a²=2a

Проверка и вывод.

Мы получили значение 2a. Это совпадает с ключом из учебника. Геометрическая интерпретация: если бы угол был 90^°, то CD²=a²+a²+a²=3a². При увеличении угла до 120^° проекции расходятся сильнее, но здесь важно, что вертикальное смещение AB=a добавляет свой вклад. Расчёт через координаты является наиболее надёжным способом избежать ошибок со знаками при скалярном произведении векторов. Ответ верен.