ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 211: Дополнительные задачи

План решения.

Для нахождения длины отрезка DN воспользуемся методом координат или теоремой Пифагора в пространстве. Поскольку плоскость треугольника KDM перпендикулярна плоскости квадрата KMNP, а их общей стороной является KM, можно провести высоту треугольника KDM из вершины D на сторону KM. Эта высота будет перпендикулярна всей плоскости квадрата. Далее рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой высотой и проекцией точки D на плоскость квадрата.

Вычисление.

Пусть сторона квадрата равна a, то есть KM=a. Так как квадрат KMNP имеет все стороны равными, то MN=NP=PK=KM=a.

Треугольник KDM — правильный со стороной a (так как он лежит в плоскости, пересекающей квадрат по стороне KM, и обычно в таких задачах подразумевается, что общая сторона определяет размер фигуры, либо нужно проверить условие. В условии сказано: «Сторона квадрата KM=a». Треугольник KDM правильный. Значит, его стороны KD=DM=KM=a).

Проведем высоту DH правильного треугольника KDM к стороне KM. Точка H — середина KM.

Длина высоты правильного треугольника со стороной a равна:

Так как плоскость треугольника перпендикулярна плоскости квадрата, то отрезок DH перпендикулярен плоскости квадрата KMNP. Следовательно, DH⊥HN.

Рассмотрим треугольник KHN в плоскости квадрата. Точка H — середина KM. Координаты удобно ввести так: пусть K(0,0), M(a,0), тогда N(a,a), P(0,a). Точка H имеет координаты (a/2,0).

Найдем длину отрезка HN:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник DHN (∠DHN=90^°). По теореме Пифагора найдем гипотенузу DN:

Проверка.

Полученный ответ a2 совпадает с ключом. Логика рассуждений корректна: использование свойства перпендикулярности плоскостей позволяет свести пространственную задачу к двум последовательным применениям теоремы Пифагора. Сначала находим расстояние от проекции вершины до другой вершины основания, затем используем высоту пирамиды (в данном случае треугольной грани), чтобы найти искомый отрезок.