ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 202: Дополнительные задачи

План решения:

• Определим геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от вершин треугольника. Это прямая, проходящая через центр описанной окружности перпендикулярно плоскости треугольника.
• Найдём радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, используя свойство медианы к гипотенузе.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный расстоянием от точки до плоскости (h), радиусом описанной окружности (R) и расстоянием от точки до вершины (L). Применим теорему Пифагора для нахождения h.

Вычисление:

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы и одновременно является радиусом описанной окружности. По условию медиана равна 5 см, следовательно, радиус описанной окружности R=5 см.
2. Пусть точка S удалена от всех вершин треугольника ABC на расстояние L=10 см. Пусть O — центр описанной окружности (середина гипотенузы). Тогда отрезок SO перпендикулярен плоскости треугольника, и его длина SO=h — это искомое расстояние от точки до плоскости.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA, где △SOA имеет прямой угол при вершине O. Катеты: SO=h, OA=R=5 см. Гипотенуза SA=L=10 см.
4. По теореме Пифагора: h²+R²=L² Подставим известные значения: h²+5²=10² h²+25=100 h²=100-25 h²=75 h=75=25·3=53

Проверка:

Расстояние от точки до плоскости должно быть меньше расстояния до любой точки на плоскости (в данном случае до вершин). 53≈5·1,732=8,66 см. Так как 8,66<10, результат физически возможен. Вычисления верны.