ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 199: Дополнительные задачи

План доказательства:

1. Введём обозначения: пусть O — проекция точки S на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок SO перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку O, то есть SO⊥AO, SO⊥BO, SO⊥CO. 2. Используем условие равноудалённости точки S от вершин треугольника (SA=SB=SC), чтобы доказать равенство наклонных и их проекций. 3. Покажем, что точка O является центром описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника ABC. 4. Воспользуемся свойством центра описанной окружности прямоугольного треугольника (он лежит на середине гипотенузы), чтобы сделать вывод о совпадении точек O и M.

Ход решения:

Рассмотрим три прямоугольных треугольника △SOA, △SOB и △SOC. Они имеют общий катет SO и равные гипотенузы по условию задачи: SA=SB=SC.

По теореме Пифагора найдём длины проекций наклонных на плоскость:

Так как SA=SB=SC, то из приведённых формул следует, что AO=BO=CO.

Точка O, равноудалённая от всех трёх вершин треугольника ABC, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Известно геометрическое свойство: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине его гипотенузы. По условию M — середина гипотенузы. Следовательно, точка O совпадает с точкой M.

Так как SO — это перпендикуляр к плоскости, а точка O совпадает с точкой M, то прямая SM (она же SO) перпендикулярна плоскости треугольника ABC.

Проверка:

Логика цепочки «равные наклонные → равные проекции → центр описанной окружности → середина гипотенузы» корректна для любого прямоугольного треугольника. Если бы треугольник не был прямоугольным, точка O не обязательно совпала бы с серединой стороны, но в данном случае утверждение верно.