ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 201: Дополнительные задачи

План решения.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми AB и PQ воспользуемся методом параллельного переноса одной из прямых. Нам дано условие равноудалённости концов отрезка AB (точек A и B) от точек P и Q. Это геометрическое свойство позволяет определить взаимное расположение прямой AB относительно плоскости, проходящей через серединный перпендикуляр к отрезку PQ, или использовать векторный подход для доказательства ортогональности.

Вычисление и обоснование.

Рассмотрим треугольники APQ и BPQ. По условию задачи точки A и B равноудалены от P и Q, то есть:

Это означает, что точка A лежит на серединном перпендикуляре к отрезку PQ в пространстве, как и точка B. Множество всех точек пространства, равноудалённых от двух фиксированных точек P и Q, представляет собой плоскость β, которая является серединным перпендикуляром к отрезку PQ. Эта плоскость β проходит через середину отрезка PQ и перпендикулярна ему.

Так как обе точки A и B удовлетворяют этому условию, то весь отрезок AB (и, следовательно, вся прямая AB) лежит в этой плоскости β.

По определению серединного перпендикуляра к отрезку PQ, плоскость β перпендикулярна прямой PQ. Поскольку прямая AB лежит в плоскости β, а плоскость β перпендикулярна прямой PQ, то любая прямая, лежащая в плоскости β, перпендикулярна прямой PQ (в смысле угла между скрещивающимися прямыми, если они не пересекаются, или просто перпендикулярности, если пересекаются).

Более строго: угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Проведём через произвольную точку на прямой PQ прямую l, параллельную AB. Так как ABbotPQ (так как ABβ и PQbotβ), то и lbotPQ. Следовательно, угол между прямыми равен 90 ^exto.

Проверка.

Если бы прямые не были перпендикулярны, то проекция отрезка AB на направление PQ была бы ненулевой, что противоречило бы симметрии условий AP=AQ и BP=BQ. Векторно это можно проверить так: пусть M — середина PQ. Тогда MP+MQ=0. Из равнобедренных треугольников следует, что медиана к основанию является высотой, то есть AMbotPQ и BMbotPQ. Значит, векторы AM и BM лежат в плоскости, перпендикулярной PQ. Вектор AB=MB-MA также лежит в этой плоскости. Следовательно, скалярное произведение ABPQ=0, что подтверждает перпендикулярность.