ГДЗ по геометрии, 10 класс, Атанасян, номер 198: Дополнительные задачи

Для решения задачи воспользуемся методом подобия прямоугольных треугольников или свойством проекций. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Обозначим искомое расстояние от точки M до плоскости β как x. Так как точка A лежит в плоскости β, то расстояние от неё до плоскости равно 0. Точка B удалена от плоскости на 9 см. Точки A, M и B лежат на одной прямой (отрезке AB).

Рассмотрим проекции точек A, M, B на прямую, перпендикулярную плоскости β. Получаем два подобных прямоугольных треугольника (или используем теорему Фалеса для параллельных прямых — перпендикуляров к плоскости). Отношение расстояний от точек до плоскости равно отношению длин соответствующих отрезков на секущей прямой.

По условию точка M делит отрезок AB в отношении 4:5, считая от точки A. Это означает, что AM:MB=4:5. Следовательно, весь отрезок AB состоит из 4+5=9 равных частей. Длина отрезка AM составляет 4/9 от длины всего отрезка AB.

Так как расстояние от точки A до плоскости равно 0, а от точки B равно 9 см, то изменение расстояния происходит линейно вдоль отрезка AB. Искомое расстояние x от точки M до плоскости можно найти по формуле:

где h_B=9 см — расстояние от точки B до плоскости.

Подставим значения:

Проверка: Если бы точка M совпадала с A, расстояние было бы 0. Если бы совпадала с B, расстояние было бы 9. Точка M находится ближе к A (4 части против 5), поэтому ответ должен быть меньше половины от 9 (4.5). Число 4 удовлетворяет этому условию.